Pytanie o grawitacje.

[sebaa86]

Witam,

Forum przeglądam od bardzo dawna, dziś jednak postanowiłem się zarejestrować i zapytać mądrzejsze głowy o nurtujący mnie problem.

Weźmy dowolne ciało niebieskie (księżyc, dowolna planetoida itp) a następnie wyobraźmy sobie, że wykonujemy tunel poprzez jądro ów ciała na drugą stronę. Co się stanie jeśli wrzucimy w tunel np kamień? Generalnie chodzi mi o to jak kamień będzie się zachowywał w wydrążonym tunelu. Według mnie będzie pokonywał coraz mniejszą drogę aż w końcu zatrzyma się w środku ciała. No ale czy to jest dobre rozumowanie?

Z góry dzięki za wszelkie odpowiedzi. Pozdrawiam!

[pomruk]

Na ciało, spadające w kierunku środka planety ciagle działa siła skierowana również do środka, a więc i przyspieszenie. Ciało będzie przyspieszać, choć przyspieszenie będzie coraz mniejsze z racji malejącej wypadkowej siły przyciagania - tym niemniej prędkosć jego bedzie rosła i osiagnie maksimum w środku planety. Potem zacznie się proces odwrotny i ciało zwalniając, osiagnie prędkosć zerową na drugim, przypowierzchniowym końcu tunelu. Rozważając rzec energetycznie: początkowa energia potencjalna grawitacji zamieniać się będzie w kinetyczną ruch postępowego, w środku potencjalna sie wyzeruje, zaś kinetyczna osiągnie maksimum, a potem kinetyczna zamieniać sie bedzie na potencjalną grawitacji. Jeśli nie bedzie np. oporu atmosfery w tunelu, proces będzie trwał w nieskończonosć - ciało będzie się poruszać ruchem drgającym i może stanowić wygodny środek transportu ;).

[stefan4]

pomruk:
> ciało będzie się poruszać ruchem drgającym i może stanowić wygodny środek
> transportu ;).

Transportu stąd na antypody? Bez tego ciała transport byłby nawet wygodniejszy. Wystarczy wskoczyć do otworu z prędkością zerową, w środku planety mieć prędkość zawrotną, a u wylotu mieć znowu zerową.

Ala to tylko przy dość nierealnym założeniu, że planeta nie wiruje. Bo jeśli wiruje, to z powodu Coriolisa podróżnik rozpłaszczy się na ściance bocznej tunelu. Im wcześniej tym lepiej, bo jak już nabierze prędkości i się wtedy rozpłaszczy, to jeejj...

Na wirujących planetach tunele należy kopać wzdłuż osi obrotu, czyli z bieguna północnego na południowy.

- Stefan

[asteroida2]

> Na wirujących planetach tunele należy kopać wzdłuż osi obrotu, czyli z bieguna
> północnego na południowy.

Albo zamiast drążyć proste tunele, drążyć je wzdłuż krzywej swobodnego spadku takiego podróżnika. Z powodu ruchu obrotowego planety nie byłaby to prosta, ale jakaś krzywa jednoznacznie wyznaczona dla każdego punktu na powierzchni Ziemi.
Czy ktoś pokusiłby się o określenie, jaka to by była krzywa i gdzie podróżnik by dotarł, gdyby wskoczył do tunelu np. w Polsce?

[petrucchio]

asteroida2 napisał:

> Albo zamiast drążyć proste tunele, drążyć je wzdłuż krzywej swobodnego spadku t
> akiego podróżnika. Z powodu ruchu obrotowego planety nie byłaby to prosta, ale
> jakaś krzywa jednoznacznie wyznaczona dla każdego punktu na powierzchni Ziemi.
> Czy ktoś pokusiłby się o określenie, jaka to by była krzywa i gdzie podróżnik b
> y dotarł, gdyby wskoczył do tunelu np. w Polsce?

Można zgadywać intuicyjnie: okres lotu kamienia od jednego do drugiego końca tunelu i z powrotem w przypadku wyidealizowanej Ziemi wynosi T = 84,5 min. Okres obrotu Ziemi wokół własnej osi wynosi 24 h = 1440 min = 17 T (z dość dobrą dokładnością). Z punktu widzenia obserwatora wirującego wraz z Ziemią byłaby to więc prawdopodobnie krzywa prawie zamknięta, złożona z siedemnastu gałęzi przypominających wydłużone elipsy, rozłożone na powierzchni hiperboloidy obrotowej, przecinającej powierzchnię Ziemi wzdłuż równoleżników odpowiadających szerokości geograficznej Polski.

[stefan4]

asteroida2:
> Albo zamiast drążyć proste tunele, drążyć je wzdłuż krzywej swobodnego
> spadku takiego podróżnika. Z powodu ruchu obrotowego planety nie byłaby to
> prosta, ale jakaś krzywa jednoznacznie wyznaczona dla każdego punktu na
> powierzchni Ziemi.
> Czy ktoś pokusiłby się o określenie, jaka to by była krzywa

petrucchio:
> Można zgadywać intuicyjnie

Można też spróbować napisać wzór. To jest zadanie znacznie łatwiejsze niż opisanie ruchu ciał powyżej powierzchni planety. Załóżmy dla uproszczenia, że

• planeta jest idealną kulą o promieniu R i stałej gęstości d;
  
• wiruje z prędkością kątową ω;
  
• interesuje nas tor dla punktu na równiku (a więc dla uproszczenia nie dla całej powierzchni).
  

Najpierw policzmy wszystko dla obserwatora inercjalnego; potem przeliczymy wynik na obserwatora na powierzchni planety.

Przyspieszenie grawitacyjne w punkcie, znajdującym się w odległości r<R od środka planety ma wartość 0.75Gdπ·r, gdzie G jest stałą grawitacyjną. Umieśćmy środek układu współrzędnych w środku planety i niech 2 prostopadłe osie układu leżą w płaszczyźnie równika. Współrzędne
<x(t),y(t)> ciała spełniają następujące równanie (prim to pochodna po czasie):

    <x''(t),y''(t)> = −λ²·<x(t),y(t)>

gdzie λ to pierwiastek kwadratowy z 0.75Gdπ. Rozwiązaniami ogólnymi są

    x(t) = a·sin(λt) + b·cos(λt)
    y(t) = c·sin(λt) + d·cos(λt)

dla dowolnych stałych rzeczywistych a, b, c, d.

Jako warunki początkowe weźmy:

• położenie początkowe: x(0) = R, y(0) = 0, bo ciało leży na powierzchni planety, na równiku;
  
• prędkość początkowa: x'(0) = 0, y'(0) = ωR, bo spoczywa względem planety, czyli ma tylko jej prędkość wirowania.
  

Z takimi warunkami początkowymi rozwiązanie równania redukuje się do

    x(t) = R·cos(λt)
    y(t) = (ωR/λ)·sin(λt)

Żeby teraz przejść do układu związanego z planetą (zamiast inercjalnego) należy tylko lewostronnie pomnożyć to rozwiązanie przez macierz

     cos(ωt)    sin(ωt)
    −sin(ωt)    cos(ωt)

- Stefan

[petrucchio]

stefan4 napisał:

> ]Z takimi warunkami początkowymi rozwiązanie równania redukuje się do
>

>     x(t) = R·cos(λt)
>     y(t) = (ωR/λ)·sin(λt)
> 

Krótko mówiąc, elipsa o dłuższej półosi równej R.

> Żeby teraz przejść do układu związanego z planetą (zamiast inercjalnego) należy
> tylko lewostronnie pomnożyć to rozwiązanie przez macierz
>

>      cos(ωt)    sin(ωt)
>     −sin(ωt)    cos(ωt)
> 

Czyli elipsa na karuzeli ;)

[stefan4]

petrucchio:
> Krótko mówiąc, elipsa o dłuższej półosi równej R.

Tak jest.

Jeśli ktoś się dziwi, że dla lotów poza planetą wychodzi elipsa i dla lotów wewnątrz planety przy całkiem innym potencjale grawitacyjnym też wychodzi elipsa, to zwracam uwagę, że to są inne elipsy. Ta druga w żadnej mierze nie jest keplerowska. Środek planety nie jest jej ogniskiem i nie ma mowy o stałości prędkości polowych.

petrucchio:
> Czyli elipsa na karuzeli ;)

No, tak... Chociaż raczej na takiej karuzeli dla ubogich, jaką sobie czasem robią dzieci

[petrucchio]

W sumie pokrewnym (choć nie identycznym) *bardzo praktycznym* problemem jest wyznaczanie orbity satelity w nieinercjalnym układzie odniesienia (rotującym wraz z Ziemią):

web.ics.purdue.edu/~ecalais/teaching/geodesy/Satellite_orbits.pdf

[asteroida2]

No tak. Ale satelita w układzie nierotującym porusza się po prostu po elipsie, więc przetłumaczenie tego na rotujący układ inercjalny jest już dosyć proste. Po wykonaniu każdego okrążenia satelita wraca w to samo miejsce, tylko Ziemia się w międzyczasie obraca o jakiś kąt.

W przypadku podróżnika we wnętrzu Ziemi, jego przyspieszenie maleje w miarę zbliżania się do środka, więc nawet rozważanie go w układzie nierotującym nie jest takie trywialne. Tak jak piszesz po 84,5 min powinien znów znaleźć się na powierzchni. Ale chyba nawet w układzie nierotującym nie wróci w to samo miejsce?

[petrucchio]

asteroida2 napisał:

> W przypadku podróżnika we wnętrzu Ziemi, jego przyspieszenie maleje w miarę zbl
> iżania się do środka, więc nawet rozważanie go w układzie nierotującym nie jest
> takie trywialne. Tak jak piszesz po 84,5 min powinien znów znaleźć się na powi
> erzchni. Ale chyba nawet w układzie nierotującym nie wróci w to samo miejsce?

Wróci w "to samo" miejsce w układzie inercyjnym. Różnica między kamieniem na planecie rotującej, a kamieniem na planecie nierotującej polega tylko na tym, że ten pierwszy ma niezerową prędkość początkową poziomą (prostopadłą do promienia planety) nadaną mu przez rotację planety. Dlatego jego trajektoria będzie podobna do elipsy i zamknięta (ze względu na symetrię układu)! Nie będzie natomiast przechodzić przez środek masy planety (ze względu na tę poprzeczną prędkość początkową. Gdyby skompensować ten efekt, nadając kamieniowi odpowiednią prędkość poziomą skierowaną "pod włos" obrotów planety, trajektoria w układzie inercjalnym będzie prosta jak drut, a w układzie nieinercjalnym będzie przypominać taką krzywą (dla k = 17 w przypadku Ziemi). Krzywa ta będzie płaska na równiku, a dla innych szerokości geograficznych rozłoży się trójwymiarowo na powierzchni stożka.

Nawiasem mówiąc, przyspieszenie grawitacyjne satelity na orbicie eliptycznej też przecież nie jest stałe i zależy od odległości od planety, tyle że w inny sposób (odwrotnie proporcjonalnie do r^2, a nie proporcjonalnie do r).

[allegropajew]

Pod dodatkowym wszak warunkiem, że rozkład masy wewnątrz drążonego ciała daje taki a nie inny układ sił. W przypadku centralnosymetrycznego rozkładu masy nie ma żadnego problemu

[petrucchio]

sebaa86 napisał(a):

> Witam,
>
> Forum przeglądam od bardzo dawna, dziś jednak postanowiłem się zarejestrować i
> zapytać mądrzejsze głowy o nurtujący mnie problem.
>
> Weźmy dowolne ciało niebieskie (księżyc, dowolna planetoida itp) a następnie wy
> obraźmy sobie, że wykonujemy tunel poprzez jądro ów ciała na drugą stronę. Co s
> ię stanie jeśli wrzucimy w tunel np kamień? Generalnie chodzi mi o to jak kamie
> ń będzie się zachowywał w wydrążonym tunelu. Według mnie będzie pokonywał coraz
> mniejszą drogę aż w końcu zatrzyma się w środku ciała. No ale czy to jest dobr
> e rozumowanie?
>
> Z góry dzięki za wszelkie odpowiedzi. Pozdrawiam!

Jeśli pominąć tarcie (czyli założyć, że kamień spada w próżni) i ruch obrotowy planety wokół własnej osi, oraz założyć sferycznie symetryczny rozkład jej masy, kamień będzie się zachowywał jak ciężarek wiszący na idealnej sprężynce: będzie przyspieszał, aż osiągnie środek ciała, następnie zacznie zwalniać, wreszcie zawróci, osiągnąwszy drugi koniec tunelu. I tak w nieskończoność. Cały cykl będzie trwał dokładnie tyle, ile trwa okres obiegu danej planety przez satelitę na najniższej możliwej orbicie. Żeby amplituda tych ruchów systematycznie malała, coś (np. tarcie, jeśli tunel jest wypełniony gazem) musi wyhamowywać kamień.

Jeśli planeta wiruje wokół własnej osi, siła Coriolisa będzie powodowała, że tor kamienia będzie się odchylał od pionu i kamień będzie się obijał o ściany tunelu. Można tego uniknąć, przewiercając tunel od bieguna do bieguna.

Zob. też:

hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/mechanics/earthole.html

[dum10]

sebaa86 napisał(a):

> Według mnie będzie pokonywał coraz
> mniejszą drogę aż w końcu zatrzyma się w środku ciała.

Tak,masz racje.Bedzie oscylowac wokol srodka Ziemi z co raz mniejsza apmlituda.

[alsor]

Wywierć w kuli ołowianej i sprawdź.

Stawiam 100 rubli że nie zatrzyma się w środku,
ani nawet nie powróci po przelocie, co tu inni sugerują.

powiedzmy kula ołowiu o promieniu 10 m.
masa: M = 4pi/3 10^3 * 11000 kg/m^3 = 46000 ton, strasznie ciężkie...

g = GM/10^2 = 0.00003 m/s^2.

[dum10]

alsor napisał:

> Wywierć w kuli ołowianej i sprawdź.
>
> Stawiam 100 rubli że nie zatrzyma się w środku,
> ani nawet nie powróci po przelocie, co tu inni sugerują.

W Twoim doswiadczeniu przeleci jak przez powietrze i spadnie na ziemie.
Musialbys wywedrowac w kosmos,ale i to nie wiadomo gdzie.
Normalnie masz wwenwatrz kuli z prawa Newtona powszechnej grawitacji sile oscylatora
F= -kr,a dla gestosci zwiekszajacej sie w glab ziemi spada amplituda.
Chyba,ze nie wierzysz w Prawo Newtona?

[petrucchio]

dum10 napisał:

> W Twoim doswiadczeniu przeleci jak przez powietrze i spadnie na ziemie.
> Musialbys wywedrowac w kosmos,ale i to nie wiadomo gdzie.
> Normalnie masz wwenwatrz kuli z prawa Newtona powszechnej grawitacji sile oscyl
> atora
> F= -kr,a dla gestosci zwiekszajacej sie w glab ziemi spada amplituda.
> Chyba,ze nie wierzysz w Prawo Newtona?

Nie, nie spada od samego nierównomiernego rozkładu gęstości, chyba że nie wierzysz w zasadę zachowania energii. Zmienia się tylko chwilowa prędkość i przyspieszenie, komplikuje się równanie ruchu, ale nie zmienia się podstawowa zasada: energia potencjalna kamienia po każdym okresie oscylacji pozostaje taka sama, *jeżeli pominiemy straty energii wskutek jej rozpraszania*. Tylko utrata energii kinetycznej po drodze (tarcie aerodynamiczne) powoduje znaczące tłumienie oscylacji.

[alsor]

> W Twoim doswiadczeniu przeleci jak przez powietrze i spadnie na ziemie.
> Musialbys wywedrowac w kosmos,ale i to nie wiadomo gdzie.
> Normalnie masz wwenwatrz kuli z prawa Newtona powszechnej grawitacji sile oscyl
> atora

Nie słyszałem o takich eksperymentach,
a przecież łatwo coś takiego byłoby wykonać, np. dla pomiaru G.

Masa 46000 ton - trochę dużo ołowiu, a może wystarczy z promień z 1 metr...
wówczas byłoby 1000 razy mniej = 46 ton zaledwie.

wówczas: g = GM/1^2 = 0.000003 m/s^2, całkiem spore...

Sprawdźmy okres:
w^2 = GM/r^3 = GM/r^2 / r = g/r.
T = 2pi/w = 2pi sqrt(r/g) = 2pi sqrt(1/0.000003) = 3628s,

To pewnie powinna być dokładnie 1 godzina... niezły skecz numerologiczny.

Prędkość maksymalna: v_max = w * R = 2pi/3600s * 1m = 1.7 mm/s.

> Chyba,ze nie wierzysz w Prawo Newtona?

Tylko szkoda że z tego samego prawa wyznaczamy masy planet - cyrkulacja logiczna.

[dum10]

alsor napisał:

> Masa 46000 ton - trochę dużo ołowiu, a może wystarczy z promień z 1 metr...
> wówczas byłoby 1000 razy mniej = 46 ton zaledwie.
>
> wówczas: g = GM/1^2 = 0.000003 m/s^2, całkiem spore...
>
> Sprawdźmy okres:
> w^2 = GM/r^3 = GM/r^2 / r = g/r.
> T = 2pi/w = 2pi sqrt(r/g) = 2pi sqrt(1/0.000003) = 3628s,
>
> To pewnie powinna być dokładnie 1 godzina... niezły skecz numerologiczny.
>
> Prędkość maksymalna: v_max = w * R = 2pi/3600s * 1m = 1.7 mm/s.
>

Dlaczego to liczysz tak jakby latal dookola? Podoba mi sie to.:)

[alsor]

> Dlaczego to liczysz tak jakby latal dookola? Podoba mi sie to.:)

On chyba lata dookoła, ale na skróty.

Orbita Księżyca:
w^2 = GM/L^3 = GM/L^2 / L = g/L

jak widać to jest zwyczajne wahadło... o długości 384000km.

[dum10]

alsor napisał:

> > Dlaczego to liczysz tak jakby latal dookola? Podoba mi sie to.:)
>
> On chyba lata dookoła, ale na skróty.
>
> Orbita Księżyca:
> w^2 = GM/L^3 = GM/L^2 / L = g/L
>
> jak widać to jest zwyczajne wahadło... o długości 384000km.

No dobrze,zapomnialem ze matematyka w fizyce czyni cuda.Takie same rownania to taki sam
mechanizm.
Ale ja namieszalem dziewczynie ktora rozpoczela ten watek.I teraz co Ty na to?
Czy kamien rzucony w taki otwor w Ziemi bedzie latal w te i z powrotem?
jak pisza wszyscy tutaj i jak ja myslalem do tej pory ale cos mi tu nie gra.Prawo Newtona
stosuje sie do mas punktowych a wiec mas planet dalekich od siebie.A tu mamy ciagly rozklad
masy i mase w srodku.Czy tu w ogole dziala to prawo?
Prawo Coulomba dla ladunkow elektrycznych jest takie samo.Czy to oznacza ze masa i
ladunek nie moga bez siebie istniec? Czy tez jest tak przypadkiem.Ale w naturze nie ma
przypadkowych praw.Dopiero by to bylo.

[pomruk]

dum10 napisał:



> ale cos mi tu nie gra.Pra
> wo Newtona
> stosuje sie do mas punktowych a wiec mas planet dalekich od siebie.A tu mamy ci
> agly rozklad
> masy i mase w srodku.Czy tu w ogole dziala to prawo?

Prawo Newtona możesz stosować do układów rozciągłych, całkując po całej objętości ciała przyciagajacego jakiś punkt materialny. Jeśli to ciało ma symetrię taką jak symetria kuli a przyciagany punkt materialny znajduje się wewnątrz tego ciała, wówczas ta część całki, która dotyczy elemetów ciała bardziej odległych od środka symetrii niż punkt materialny zeruje się, zaś suma efektów od bliższych elementów daje taką wypadkową, jak gdyby te bliższe elementy stanowiły jedną masę punktową zgromadzoną w środku.

[dum10]

pomruk napisał:

>Czy tu w ogole dziala to prawo?
>
> Prawo Newtona możesz stosować do układów rozciągłych, całkując po całej objętoś
> ci ciała przyciagajacego jakiś punkt materialny. Jeśli to ciało ma symetrię tak
> ą jak symetria kuli a przyciagany punkt materialny znajduje się wewnątrz tego
> ciała, wówczas ta część całki, która dotyczy elemetów ciała bardziej odległych
> od środka symetrii niż punkt materialny zeruje się, zaś suma efektów od bliższy
> ch elementów daje taką wypadkową, jak gdyby te bliższe elementy stanowiły jedną
> masę punktową zgromadzoną w środku.

Aha, czyli mamy tak :

dF = Gmdm/r^2 , ale m= ro*(4pir^3/3)
rozniczkujemy m ---> dm = k* r^2dr, gdzie k=4pi*ro
stad
dF = kGmdr czyli po scalkowaniu mamy F= kGm*r

czyli sila dzialajaca na mase m zmienia sie liniowo z odlegloscia r od srodka.
Zgadza sie?

[pomruk]

Zgadza się: siła rośnie liniowo przy oddalaniu się od środka. Oczywiście, rozważamy teraz przypadek stałej gęstości.

[dum10]

pomruk napisał:

> Zgadza się: siła rośnie liniowo przy oddalaniu się od środka. Oczywiście, rozwa
> żamy teraz przypadek stałej gęstości.

A zatem dla smiennej gestosci k zalezy od r i mamy:

F = Gm*int(k(r)dr ,jaka moze byc wiec ta sila

Jej pochodna dF/dr = Gm*int(dk/dr) dr = Gm int(dk) = Gm*k

a zatem F = Gmk(r) *r nie jest juz liniowa ale zalezna od funkcji k(r) (gestosci)

Jezeli gestosc rosnie ,sila rosnie a odleglosc maleje a wiec moze sie zdazyc ze =0
dla F=0 cialo bedzie sie poruszac ruchem jednostajnym a potem gestosc maleje
a r rosnie wiec ruch nadal jest jednostajny i cialo opusci tunel nie wracajac.
Wszystko zalezy od funkcji gestosci k(r).

[petrucchio]

dum10 napisał:

> dla F=0 cialo bedzie sie poruszac ruchem jednostajnym a potem gestosc maleje
> a r rosnie wiec ruch nadal jest jednostajny i cialo opusci tunel nie wracajac.
> Wszystko zalezy od funkcji gestosci k(r).

Nie, cudów nie ma. Niezależnie od rozkładu masy grawitacja planety nie znika. Ruch kamienia nie jest jednostajny nawet wtedy, kiedy mija on środek masy planety

[dum10]

petrucchio napisał:

> Nie, cudów nie ma.

Przed odkyciem zjawisk kwantowych tez tak mowiono,a jednak cuda sie tam zdarzaja.
Sa to cuda dla fizyki klasycznej,wystarczy zmienic formalizm na kwantowy i juz cudow nie ma.
Tak jest z kazdym cudem.

> Grawitacja planety nie może *
> w żaden sposób* nadać kamieniowi spadającemu swobodnie ze skończonej wysokości
> drugiej prędkości kosmicznej (prędkości ucieczki)

[petrucchio]

dum10 napisał:

> Przed odkyciem zjawisk kwantowych tez tak mowiono,a jednak cuda sie tam zdarzaj
> a.
> Sa to cuda dla fizyki klasycznej,wystarczy zmienic formalizm na kwantowy i juz
> cudow nie ma.
> Tak jest z kazdym cudem.

Mówimy o mechanice newtonowskiej, gdzie wszystko łatwo policzyć. Zresztą żaden znany formalizm nie dopuszcza takiej możliwości, żeby ciało spadające w polu grawitacyjnym przy zerowej prędkości początkowej nabywało od samego spadania energii kinetycznej pozwalającej mu uciec w siną dal. Umożliwiałoby to natychmiast zbudowanie perpetuum mobile.

> Spadanie swobodne podlega prawu sily 1/r^2 , a tutaj mamy zlozona funkcje zmien
> nej r .

Nie. Spadek swobodny to ruch zachodzący wyłącznie pod wpływem przyspieszenia grawitacyjnego. Jaki jest wzór na to przyspieszenie (i wynikające z niego lokalne wartości w danym układzie), to sprawa obojętna. Zachowanie energii obowiązuje niezależnie od takich detali, jak rozkład gęstości oddziałujących ze sobą mas.

[dum10]

petrucchio napisał:

> Nie. Spadek swobodny to ruch zachodzący wyłącznie pod wpływem przyspieszenia gr
> awitacyjnego. Jaki jest wzór na to przyspieszenie (i wynikające z niego lokalne
> wartości w danym układzie), to sprawa obojętna. Zachowanie energii obowiązuje
> niezależnie od takich detali, jak rozkład gęstości oddziałujących ze sobą mas.

No wlasnie nie obojetna.Bo wzor na przyspieszenie grawitacyjne w swobodnym spadku
jest g=GM/r^2.
Jezeli zmienisz ten wzor to nie mowisz wtedy o grawitacji tylko o jakims innym polu sil.

[pomruk]

Zasada zachowania energii nie jest zależna od rozkładu pola sił. Nawiasem mówiąc, o spadaniu mówimy zarówno w polu jednorodnym jak i centralnym - już tu masz rózne pola sił. Ruch w różnych polach nagminnie oblicza sie w elektrostatyce - tam również,oczywiscie, obowiazuje zasada zachowania energii.

[dum10]

pomruk napisał:

> Zasada zachowania energii nie jest zależna od rozkładu pola sił. Nawiasem mówią
> c, o spadaniu mówimy zarówno w polu jednorodnym jak i centralnym - już tu masz
> rózne pola sił. Ruch w różnych polach nagminnie oblicza sie w elektrostatyce -
> tam również,oczywiscie, obowiazuje zasada zachowania energii.

Zasada zachowania energii obowiazuje zawsze i wszedzie,ale co to ma wspolnego z tym problemem.
Tutaj mowimy o polu grawitacyjnym a takie pole nadaje kazdej masie przyspieszenie
g=GM/r^2 bez wzgledu na mase spadajaca.To sie nazywa swobodnym spadkiem i dlatego
wszystkie ciala spadaja tak samo.
Z tego wszystkiego wynika,ze pole to,czyli grawitacyjne jest polem potencjalnym, o potencjale
V=-GM/r a wiec jest jak mowimy alternatywnie polem zachowawczym czyli takim,ze
praca wykonana w nim na drodze zamknietej jest rowna zeru.To jest wlasnosc pol potencjalnych
czyl takich ktorych rotacja natezenia pola E rowna jest zero dla kazdego punktu pola.

[pomruk]

dum10 napisał:
> Zasada zachowania energii obowiazuje zawsze i wszedzie,ale co to ma wspolnego z
> tym problemem.
To, że pozwala go rozwiązać znacznie szybciej i prościej, bardziej elegancko. Mówie o problemie, czy kamień opuszczony w tunel przewiercony przez środek planety bedzie mial przy powierzchni po drugiej stronie prędkośc zerową (w modelu bez strat energii, nie uwzględniającym rotacji itd.). Tak, będzie miał. I jest to klasyczny przykład stosowania zasady zachowania energii dla takich problemów.

[dum10]

pomruk napisał:

> dum10 napisał:
> > Zasada zachowania energii obowiazuje zawsze i wszedzie,ale co to ma wspol
> nego z
> > tym problemem.
> To, że pozwala go rozwiązać znacznie szybciej i prościej, bardziej elegancko. M
> ówie o problemie, czy kamień opuszczony w tunel przewiercony przez środek plane
> ty bedzie mial przy powierzchni po drugiej stronie prędkośc zerową (w modelu be
> z strat energii, nie uwzględniającym rotacji itd.). Tak, będzie miał. I jest to
> klasyczny przykład stosowania zasady zachowania energii dla takich problemów.
>

Uczepiliscie sie tego ze suma energii potecjalnej i kinetycznej jest stala.Nie rozumiecie ze
ta zasada wynika z zachowawczosci pola sil typu 1/r^2 a wewnatrz kuli jest sila typu 1/r.
Z reszta nie wiadomo jaka tam sila jest bo nie wiadomo czy prawo
Newtona sluszne dla mas punktowych tutaj dziala. Juz Alsor mi odpowiedzial na to.
Jak on zrozumial to ,wiec moze i wy macie szanse?

forum.gazeta.pl/forum/w,32,137756608,137802740,wlasnie.html

[dum10]

dum10 napisał:

> a wewnatrz kuli jest sila typu 1/r.

oczywiscie mialo byc typu r
Koncze dyskusje bo nie macie dostatecznych podstaw z fizyki,

[pomruk]

Wybacz, próbujemy ci wytłumaczyć - bez powodzenia - coś, co znajduje się w podrecznikach dla liceum. Zresztą zadanie z ciałem przelatujacym przez planetę jest zadaniem licealnym. Może pomyśl o swoich postawach rozumienia fizyki.

Zadanka licealne.

[pomruk]

Żeby nie być gołosłownym, poszukałem w zbiorach zadań na poziomie licealnym. W zbiorze Jędzrzejewskiego, Kruczka i Kujawskiego, "tunele przez planetę" są treścią czterech zadań : 12-24 do 12-27.

[dum10]

pomruk napisał:

> Żeby nie być gołosłownym, poszukałem w zbiorach zadań na poziomie licealnym. W
> zbiorze Jędzrzejewskiego, Kruczka i Kujawskiego, "tunele przez planetę" są treś
> cią czterech zadań : 12-24 do 12-27.

Ja bym nie mial odwagi forsowac swoja wersje z Toba gdyby chodzilo o chemie.Nie dlatego,
ze podobno jestes chemikiem ale dlatego ze wiem iz moge nie wedziec czegos z chemii co jest
na poziomie edukacji uniwerysteckiej.
Fizyke zas znam lepiej niz ten Kruczek i inni co pisal ten zbor zadan.Zbiory zadan maja to do siebie
ze pisza je dydaktycy z danej dziedziny i sluza one sprawdzeniu wiedzy na danym poziomie,
w przypadku tego zbioru to chyba podstawowe pojecia z fizyki dla szkoly sredniej.
Inaczej wyglada taki zbior dla szkoly podstawowej a inaczej dla studentow fizyki a jeszcze
inaczej dla doktorantow dla ktorych juz nie ma zbiorow ale sa pewne problemy zadane.
Przykro mi,ze tego nie rozumiesz.

[petrucchio]

dum10 napisał:

> Fizyke zas znam lepiej niz ten Kruczek i inni co pisal ten zbor zadan.

No to mam pecha, bo nie kto inny jak Witold Kruczek uczył mnie fizyki na Politechnice Warszawskiej. Nie zdawałem sobie sprawy, że istnieje jeszcze jakaś inna, lepsza fizyka, pozwalająca zbudować perpetuum mobile I rodzaju.

[dum10]

petrucchio napisał:

> dum10 napisał:
>
> > Fizyke zas znam lepiej niz ten Kruczek i inni co pisal ten zbor zadan.
>
> No to mam pecha, bo nie kto inny jak Witold Kruczek uczył mnie fizyki na Polite
> chnice Warszawskiej. Nie zdawałem sobie sprawy, że istnieje jeszcze jakaś inna,
> lepsza fizyka, pozwalająca zbudować perpetuum mobile I rodzaju.

No to sie dowiedziales,ze na politechnice slabo ucza fizyki.

[petrucchio]

dum10 napisał:

> No to sie dowiedziales,ze na politechnice slabo ucza fizyki.

Czyli to perpetuum mobile I rodzaju da się jednak zbudować? Bo wiesz, jeśli pole grawitacyjne pozwala (dzięki chytrze wywierconym tunelom) bez żadnych kosztów zwiększyć energię potencjalną kamienia (z ujemnej w punkcie A blisko dużej masy M do zerowej w punkcie B daleko od tej masy), to wystarczy tylko sprowadzić kamień z powrotem do punktu A, spożytkowując uzyskany nadmiar energii, i tak w kółko. W twojej fizyce pole grawitacyjne generuje darmową energię z niczego. To fakt o wielkim znaczeniu dla ludzkości. Opatentuj ten pomysł, zanim to zrobi jakiś przypadkowy czytelnik.

w szkolej fizyce często tak wychodzi

[alsor]

Dlatego są tam powszechnie stosowane fikcyjne byty,
jak ta energia potencjalna grawitacji.

W praktyce ciała przyspieszają realnie,
więc tu jest konieczne źródło realnej energii,
a skoro jest realna to można to eksploatować jak każde inne źródło,
i napędzać różne maszyny... bo niby dlaczego nie?

Nie ma oczywiście obecnie takich maszyn,
ale właśnie dlatego, że głupoty wciskają dzieciakom,
znaczy przyszłym potencjalnym konstruktorom.

[allegropajew]

Oczywiście, dlatego w układzie np. Ziemia-Księżyc ta energia jest już eksploatowana od miliardów lat

a po co te hipotezy opowiadasz

[alsor]

> Oczywiście, dlatego w układzie np. Ziemia-Księżyc ta energia jest już eksploato
> wana od miliardów lat

[petrucchio]

alsor napisał:

> Z pomiarów z ostatnich 50 lat wychodzi 86400s perfekcyjnie,
> średnio i czasu lokalnego, ale ponieważ obecnie stosują
> czas z Plutona, wg tamtych sekund doba jest nieco dłuższa (o jakieś 0.5s/365)
> więc muszą to korygować - wstawiając te sekundy przestępne,
> systematycznie i średnio co 2 dwa lata: 0.5s * 2 = 1.

*Średnia* zmiana długości doby wskutek hamowania pływowego jest rzędu milisekund na stulecie i w krótkiej skali czasu (50 lat to tyle, co nic) maskują ją wahania sezonowe, tektonika, wieloletnie efekty ruchów w jądrze Ziemi itp. Według danych geologicznych (analiza rytmitów) doba skróciła się o około dwie godziny od późnego proterozoiku (620 mln lat temu).

hipotezy oparte na hipotezah

[alsor]

> *Średnia* zmiana długości doby wskutek hamowania pływowego jest rzędu milisekun
> d na stulecie i w krótkiej skali czasu (50 lat to tyle, co nic) maskują ją waha
> nia sezonowe, tektonika, wieloletnie efekty ruchów w jądrze Ziemi itp.

1.7 ms/wiek zostało wyliczone z jeszcze krótszego okresu -
20-30 lat pomiarów odległości do Księżyca - Lunar Laser Ranging.

Bezpośrednie pomiary zmian rotacji są praktycznie niewykonalne:
rozrzut jest potężny i nie tylko doby,
lecz i długość roku, precesji Platona,
są nutacje z Księżyca i wiele innych zakłóceń.

> Według danych geologicznych (analiza rytmitów) doba skróciła się
> o około dwie godziny od późnego proterozoiku (620 mln lat temu).

Od hamowania chyba powinna się wydłużać...
Ale to są wybiórcze dane.

Nie sądzę żeby np. Jowisz rotował istotnie szybciej kiedykolwiek.

Rotacje w Układzie Słonecznym nie są przypadkowe,
co wyklucza te proste mechanizmy hamujące już na dzień dobry.
---

Jest podobno obserwacja zaćmienia Księżyca sprzed 4000 lat (chyba z Babilonu),
i z tego coś próbowali obliczać, ale to też odpada.

Wychodzi tam jakieś 30 stopni przesunięcia Księżyca
i całość zwalili na obrót Ziemi dookoła osi.
No, ale przecież księżyc podobno ma się oddalać, czyli on też hamuje!

[petrucchio]

alsor napisał:

> Od hamowania chyba powinna się wydłużać...

Słusznie. Przejęzyczyłem się.

[pomruk]

Chodzi mi jdynie o to,że zasada zachowania energii jest znana już w szkole średniej, a ciebie zakres jej stosowań wprawia w zdumienie. Jeśli sądzisz, że w podręczniku Holliday/Resnick czy Feynmana masz coś innego na temat tuneli, daj mi znać. Zresztą poszukam, jak bedę miał czas w tym pierwszym, bo Feynmana nie mam w papierowym wydaniu.

[pomruk]

Holliday/Resnick: w rozdziale 16 trzy zadania "tunelowe" (w moim wydaniu dwutomowym z 1996 roku). W tylko jednym zakłada sie równomierną gęstosć - w tym przypadku należy wykazać, że ruch jest harmonicznym. W dwu innych brak założenia, należy m.in. udowodnić, że okres drgań ciała w tunelu jest równy okresowi obiegu na orbicie kołowej o wysokości zerowej.

nieskończona energia - wprost z Newtona

[alsor]

Problem n - body w mechanice Newtona.

Okazuje się istnieje taka początkowa konfiguracja 5-ciu ciał,
że jedno z nich uzyskuje nieskończoną prędkość, w skończonym czasie!

Piękny klasyczny wynik.

[petrucchio]

alsor napisał:

> Problem n - body w mechanice Newtona.
>
> Okazuje się istnieje taka początkowa konfiguracja 5-ciu ciał,
> że jedno z nich uzyskuje nieskończoną prędkość, w skończonym czasie!
>
> Piękny klasyczny wynik.

Konkretnie, udowodniono (Zhihong Xia 1988, 1992), że dla każdego n >= 5 istnieje taka konfiguracja trójwymiarowa:
www.ams.org/notices/199505/saari-2.pdf
Nie ma natomiast pewności, że 5 jest *najmniejszą* taką liczbą.

PS

[petrucchio]

Jeżeli jednak przyjrzeć się dokładnie konstrukcji Xia, widać, że szanse na jej praktyczne wykorzystanie do uzyskania nieskończonej energii kinetycznej są takie same, jak szanse na wykorzystanie paradoksu Banacha-Tarskiego dla wzbogacenia się przez powielanie kul z czystego złota.

[allegropajew]

albo polowania na lwy metodą wchodzenia do okrągłej klatki i przekształcania stepu przez inwersję.

Gościula

Jeszcze inne zadanko :)

[stalybywalec]

Pomruku, z tego upału dostajemy wszyscy rozmiękczenia mózgu

[stalybywalec]

Teraz zadanko praktyczne - poziom polskiego gimnazjum:

W pewnym punkcie między Ziemią i Księżycem siła ciążenia na pojazd kosmiczny pochodząca od Ziemi i od Księżyca razem jest zerem. Gdzie jest ten punkt i czy pasażerowie będą w stanie nieważkości w momencie przekraczania tego punktu ?

[petrucchio]

stalybywalec napisała:

> W pewnym punkcie między Ziemią i Księżycem siła ciążenia na pojazd kosmiczny po
> chodząca od Ziemi i od Księżyca razem jest zerem. Gdzie jest ten punkt i czy pa
> sażerowie będą w stanie nieważkości w momencie przekraczania tego punktu ?

U Juliusza Verne'a ("Wokół Księżyca"), o ile pamiętam, pasażerowie pocisku (lecącego swobodnie, bez napędu) znaleźli się w stanie nieważkości w tym punkcie i tylko w nim. ;)

[pomruk]

>
> U Juliusza Verne'a ("Wokół Księżyca"), o ile pamiętam, pasażerowie pocisku (lec
> ącego swobodnie, bez napędu) znaleźli się w stanie nieważkości w tym punkcie i
> tylko w nim. ;)
>
Dobrze pamiętasz :) Co więcej, uczcili osiagnięcie tego punktu i nieważkość... szampanem, nalewanym do kieliszków!

[petrucchio]

pomruk napisał:

> Dobrze pamiętasz :) Co więcej, uczcili osiagnięcie tego punktu i nieważkość...
> szampanem, nalewanym do kieliszków!

Właśnie odnalazłem stosowne ustępy (pardonnez le mot):

"Droga pocisku szła pomiędzy ziemią i księżycem. W miarę jak się oddalał od ziemi, przyciąganie zmniejszało się w stosunku odwrotnym do kwadratu z odległości, lecz jednocześnie przyciąganie księżycowe zwiększało się w tymże samym stosunku. Pocisk więc musiał przybyć do miejsca, w którem dwa przyciągania zobojętniają się, a wówczas kula utraciłaby wszelką wagę. Gdyby masy księżyca i ziemi były równe, punkt ten znalazłby się w jednakowej odległości od obu gwiazd. Zważywszy jednak różnicę mas, można było łatwo obliczyć, iż punkt ten przypadnie na 47/52 całej drogi, czyli o 78.114 mil od ziemi. Na tym punkcie ciało pozostałoby na wieki nieruchome, jako równomiernie przyciągane przez obie gwiazdy."

"– Przebycie linii obojętnej! – zawołał Ardan. – Zróbmy więc tak, jak czynią marynarze, przepływając równik. Skropmy naszą drogę.

Lekkie poruszenie w stronę odsunęło Ardana ku wysłanej ścianie. Wydobył on butelkę i szklankę i umieścił je w »powietrzu« przed swymi towarzyszami, którzy pijąc wraz z nim, wesołymi okrzykami powitali linię.

Ów wpływ przyciągania trwał niecałą godzinę. Podróżnicy czuli jak opadają nieznacznie, a Barbicane zauważył, iż stożkowaty koniec pocisku oddalał się powoli od linii prostopadłej, skierowanej do księżyca, a naodwrót, spodnia część jego zbliżała się do niej. Przyciąganie księżyca stawało się już silniejszem od przyciągania ziemi. Spadek na księżyc zaczynał się, tylko jeszcze bardzo powolny; wynosił on trzecią część milimetra w pierwszej sekundzie, czyli pięćset dziewięćdziesiąt tysiącznych linii. Wkrótce jednak siła przyciągająca miała wzrastać, spadek odbywał się wyraźniej. Pocisk wciągany od strony spodu swego, miał obrócić swój stożkowaty wierzchołek ku ziemi i spadać na księżyc z szybkością coraz większą. Cel wówczas byłby doścignięty. Obecnie nic już nie przeszkadzało udaniu się przedsięwzięcia, a Nicholl i Ardan podzielali radość Barbicana.

Rozprawiali o wszystkich zjawiskach, które ich w taki podziw wprowadzały. Niewyczerpanym przedmiotem uwag było owo zobojętnienie praw ciężkości. Zawsze zapalony Ardan chciał z tego wyciągać wnioski, naturalnie czysto fantastyczne."

Naturalnie. Czysto fantastyczne.

[stefan4]

pomruk:
> Mówie o problemie, czy kamień opuszczony w tunel przewiercony przez środek
> planety bedzie mial przy powierzchni po drugiej stronie prędkośc zerową (w
> modelu bez strat energii, nie uwzględniającym rotacji itd.). Tak, będzie miał.

Przy założeniu symetrii kulistej. Gdyby ta planeta była np. czworościanem foremnym i kamień leciałby z wierzchołka przez środek, to uzyskałby prędkość zerową dopiero na sferze opisanej na czworoscianie, czyli znacznie ponad powierzchnią.

Oczywiście o żadnej prędkości ucieczki mowy być nie może.

- Stefan

[pomruk]

stefan4 napisał:

> pomruk:
> > Mówie o problemie, czy kamień opuszczony w tunel przewiercony przez środe
> k
> > planety bedzie mial przy powierzchni po drugiej stronie prędkośc zerową (
> w
> > modelu bez strat energii, nie uwzględniającym rotacji itd.). Tak, będzie
> miał.
>
> Przy założeniu symetrii kulistej. Gdyby ta planeta była np. czworościanem fore
> mnym i kamień leciałby z wierzchołka przez środek, to uzyskałby prędkość zerową
> dopiero na sferze opisanej na czworoscianie, czyli znacznie ponad powierzchnią
> .
>
> Oczywiście o żadnej prędkości ucieczki mowy być nie może.
>
> - Stefan

Zgadzam się :)

[petrucchio]

dum10 napisał:

> Zasada zachowania energii obowiazuje zawsze i wszedzie,ale co to ma wspolnego z
> tym problemem.
> Tutaj mowimy o polu grawitacyjnym a takie pole nadaje kazdej masie przys
> pieszenie
> g=GM/r^2 bez wzgledu na mase spadajaca.

Dla masy M w przybliżeniu punktowej (czyli w przypadku mocno wyidealizowanym). Pole grawitacyjne jest *zawsze* zachowawcze, niezależnie od tego, czy generująca je masa jest punktowa, czy ma kształt wieloramiennego kandelabru, którego każde ramię ma inną gęstość.

> To sie nazywa swobodnym spadkiem i dlate
> go
> wszystkie ciala spadaja tak samo.
> Z tego wszystkiego wynika,ze pole to,czyli grawitacyjne jest polem potencjalnym
> , o potencjale
> V=-GM/r a wiec jest jak mowimy alternatywnie polem zachowawczym czyli takim,ze
> praca wykonana w nim na drodze zamknietej jest rowna zeru.To jest wlasnosc pol
> potencjalnych
> czyl takich ktorych rotacja natezenia pola E rowna jest zero dla kazdego punktu
> pola.

Jakikolwiek kształt ma planeta, będąca źródłem pola, jej rozmiary są skończone. W odpowiednio dużej skali można ją uznać za punkt. Gdyby kamień znajdujący się w jej pobliżu i początkowo nieruchomy względem planety mógł pod wpływem pola grawitacyjnego oddalić się na dowolnie wielką odległość (czyli uzyskać prędkość ucieczki), znalazłby się w miejscu, gdzie jego energia potencjalna (względem planety) jest praktycznie zerowa (czyli poza studnią potencjału grawitacyjnego). Jego całkowita energia byłaby zatem nieujemna, podczas gdy w punkcie startowym energia całkowita była ujemna (jako suma ujemnej energii potencjalnej i zerowej energii kinetycznej). Jeśli nie widzisz, jaki związek ma ta nierówność z zasadą zachowania energii i zachowawczością pola grawitacyjnego, to trudno mi uwierzyć, że posiadasz legalnie uzyskany dyplom ukończenia studiów z fizyki. Dawniej takie problemy analizowano z powodzeniem na lekcjach w szkole średniej.

[stefan4]

dum10:
> Spadanie swobodne podlega prawu sily 1/r^2 , a tutaj mamy zlozona funkcje
> zmiennej r .

petrucchio:
> Nie. Spadek swobodny to ruch zachodzący wyłącznie pod wpływem
> przyspieszenia grawitacyjnego. Jaki jest wzór na to przyspieszenie (i wynikające z
> niego lokalne wartości w danym układzie), to sprawa obojętna. Zachowanie
> energii obowiązuje niezależnie od takich detali, jak rozkład gęstości
> oddziałujących ze sobą mas.

Ograniczeniem na dowolność wzoru na przyspieszenie grawitacyjne jest wymaganie, żeby określone nim pole sił było potencjalne; czyli ma istnieć pole skalarne, takie żeby to pole wektorowe było jego polem gradientów. W braku tego założenia nie obowiązuje zasada zachowania energii dla ciała w tym polu, pole może wykonać na nim pracę .

Oczywiście pola grawitacyjne sa potencjalne niezależnie od rozkładu mas.

- Stefan

[stefan4]

petrucchio:
> Niezależnie od rozkładu masy grawitacja planety nie znika. Ruch kamienia nie jest
> jednostajny nawet wtedy, kiedy mija on środek masy planety

[petrucchio]

stefan4 napisał:

> W tym poście nie jest prawdą, że przyspieszenie tego ciała nie może stać się ze
> rowe w całym otwartym przedziale czasowym niezależnie od rozkładu masy p
> lanety. Jeśli ona jest pusta w środku, np. jeśli to jest kula o promieniu R
> 1 minus (mnogościowo) kula o promieniu R2 (R2<R1),
> to przyspieszenie jest zerowe zawsze, gdy to ciało znajduje się bliżej niż
> R2 od środka planety.

OK, oczywiście masz rację. Ale jest to przypadek zdegenerowany. W przypadku planety pustej w środku trudno nawet mówić o przewiercaniu tunelu. Powiedzmy jednak, że planeta jest wydmuszką, tzn. składa się ze sferycznej skorupy o pewnej niezerowej grubości z dziurką na każdym biegunie. Kamień upuszczony w jedną z tych dziurek uzyska pewne przyspieszenie na początku drogi, przeleci wnętrze sfery ze stałą prędkością (utrzymując kierunek wzdłuż osi dzięki zasadzie zachowania pędu), trafi w przeciwległy otwór, zostanie wyhamowany przez grawitację sfery, osiągając jej powierzchnię po drugiej stronie, zawróci itd. W sumie niewiele to zmienia. Stała prędkość wewnątrz skorupy jest oczywiście mniejsza od prędkości ucieczki.

[dum10]

stefan4 napisał:

> Te nieścisłości nie powodują, żebym s
> tawał w tej dyskusji po stronie Duma10

właśnie

[alsor]

> Prawo Newtona stosuje sie do mas punktowych a wiec mas planet dalekich od siebie.
>A tu mamy ciagly rozklad masy i mase w srodku.Czy tu w ogole dziala to prawo?

Dla punktowych pasuje (na zewnątrz ciał), ale w tym przypadku
masę ciał - planet wyznaczano z tego samego prawa,
więc co z tego wynika?

Chyba nigdy nie sprawdzano jak to działa wewnątrz,
i prawdopodobnie nie działa, ponieważ galaktyki są
chyba właśnie takim przypadkiem, a tu są problemy z rotacją.

Ponadto w otw nie istnieje rozwiązanie równań
dla dziurawej w środku kuli - dla tego rejonu wewnątrz.

Na zewnątrz jest normalnie - Schwarzschild to obliczył,
a teraz obliczamy wewnątrz i tu coś wychodzi,
ale na powierzchni oba rozwiązania muszą być zgodne;
i tu jest kłopot - nie da rady tego uzgodnić, co oznacza że w otw
nie istnieje w ogóle rozwiązanie dla takiego przypadku - warstwy sferycznej,