Zadanko geometryczne

[Gość: kiełpiś]

Witam, właściwie zadanie jest na grupę matematyczną, ale skoro już tu
utknąłem to może ktoś będzie wiedział, ja się zaciąłem :(

5 kul o promieniu r układamy w kształt piramidy. 4 stykające się ze sobą w
podstawie i 1 na nich, styczna do każdej z pozostałych 4. Jaka będzie
objętość opisanej na nich piramidy (podstawa styczna do 4 w podstawie, ściany
do 3 z nich - 2 z podstawy i górnej). Wdzięczny będę za odpowiedź popartą
jakimś dowodem.

Pozdrawiam,
Kiełpiś

[Gość: W]

4*pierw(2)*r^3/3.
Podstawą jest kwadrat o boku 2r (co wynika ze styczności 4 kul). Czyli pole
podstawy 4*r^2. Krawędzie boczne ostrosłupa są równe także 2r, bo kula górna
jest też styczna z każdą z pozostałych. Tak więc biorąc przekrój przez
przekątną podstawy i wierzchołek ostrosłupa (środek 5-tej kuli), mamy trójkąt
równoramienny o podstawie 2*r*pierw(2) - bo to przekątna kwardratu z podstawy -
oraz ramionach 2r. Z tw. Pitagorasa dla połowy tego trójkąta wyliczamy jego
wysokość pierw(2)*r. A to jest jednocześnie wysokość całej piramidy.
Objętość to 1/3 * 4*r^2* pierw(2)*r, czyli jak na początku.
pierw(2) to ozczywiście liczba pierwiastek z dwa.
pozdrawiam
W.

[Gość: W]

Stop. Nie doczytałem treści i z rozpędu rozwiązałem inne banalne zadanko.
Powyższe dotyczy oczywiście piramidy, której wierzchołkami są środki kul.
Sorry
W.

[Gość: Ramzes]

Piramida wyznaczona przez wierzcholki kul ma krawędzie 2r, co pozwala okreslic
funkcje katów, ktaóre sa takie same jak w piramidzie opisanej, m.inn. kąt
nachylenia sciany bocznej do plaszczyzny podstawy, a pod kątem rownym jego
polowie widać promień kuli stycznej do podstawy piramidy. To pozwala na
wyznaczenie krawędzi podstawy i zadanie sprowadza sie do obliczenia objętosci
ostrosłupa o danej krawędzi podstawy i kącie nachylenia sciany bocznej do tej
podstawy.Kosinus tego kata jest 1/V3 (pierwiastek z trzech)
Ta obiętosc jest 1/3 r^3 (V3+V2+1)^3

[Gość: kiełpiś]

Dzięki. A ja szukałem nie wiedzieć czego :)

Pozdrawiam,
Kiełpiś