Karty

[Gość: Krzyś]

A i B wymyślili grę w karty. Każdy z nich ma przed sobą dobrze potasowaną
talię 52 zakrytych kart. Gra polega na tym, że jednocześnie A oraz B odkrywają
po jednej karcie ze swoich talii i porównują je. A wygrywa, jeśli ani razu
odkryte karty nie będą identyczne. B wygrywa, jeśli choć raz okaże się, że
odkryli identyczne karty.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że A wygra grę?

[Gość: grzesiek]

Na pierwszy rzut oka to trochę więcej niż (51/52)^52 czyli
około 1/e = 0.368. Ale rozumiem że trzeba dokładnie.

[kihooj]

Gość portalu: grzesiek napisał(a):

> Na pierwszy rzut oka to trochę więcej niż (51/52)^52 czyli
> około 1/e = 0.368. Ale rozumiem że trzeba dokładnie.

Jak dla mnie wystarczy. Jak mi się wydaje kiedy liczba kart dąży do
nieskończoności to prawdopodobieństwo dąży (i to szybko) do 1/e. Dla 52 kart
jesteśmy już bardzo blisko 1/e, błąd jest miliardy razy mniejszy niż bilionowa
część procenta.

[kornel-1]

kihooj napisał:

> Gość portalu: grzesiek napisał(a):
>
> > Na pierwszy rzut oka to trochę więcej niż (51/52)^52 czyli
> > około 1/e = 0.368. Ale rozumiem że trzeba dokładnie.
>
> Jak dla mnie wystarczy.

A nie pogubiliście gdzieś silni?

k.

[kihooj]

kornel-1 napisał:

> A nie pogubiliście gdzieś silni?

Nie wiem skąd Grzesiek wziął liczbę (51/52)^52, ale jak sam napisał trzeba ją traktować jako zgrubne oszacowanie. Natomiast wynik 1/e jest bardzo dokładny. Nie wiem jak dokładny, ale określenie "bardzo" nie oddaje w pełni bliskości tych liczb. Na pewno są takie same nawet dziesiątki miejsc po przecinku.

Oznaczmy przez n ilość kart a przez P[n] prawdopodobieństwo wygrania przez gracza A dla talii n-kartowej. P[n] to P z indeksem n, wziąłem to w nawias kwadratowy, bo mogłoby się pomylić z mnożeniem.

Dla jednej karty prawdopodobieństwo P[1] wynosi 0.
Dla dwóch P[2] = 1/2
P[3] = 1/3
P[4] = 9/24
P[5] = 11/30
.....

Ogólnie ciąg P[n] zdefiniowałbym tak:
dla n=1 P[1]=0
dla n=2 P[2]=1
dla n>=3 P[n] = (P[n-1]+P[n-2])*(n-1)/n! (jest silnia dla Kornela!)

W liczniku jest tam suma dwóch poprzednich wyrazów ciągu pomnożona przez n-1, w mianowniku n!. Z pewnością można to jakoś przekształcić, ale mi się nie udało :(

Teraz jak ktoś chce, niech sobie zrobi odpowiednie formuły w excelu i policzy P[52]. Możecie sprawdzić, ze ten ciąg oscyluje wokół 1/e, szybko się do tej liczby zbliżając. Niestety, mój open office zaczyna zaokrąglać już przy P[18].

P[17] = 130850092279664/355687428096000

Czyli P[17] = 0,367879441171442 i do piętnastego miejsca po przecinku nie różni się od 1/e.

[smiechowiec]

> Na pierwszy rzut oka to trochę więcej niż (51/52)^52 czyli
> około 1/e = 0.368. Ale rozumiem że trzeba dokładnie.
Chciałbym się upewnić odnośnie co do treści czy dobrze ją
zrozumiałem.
Każdy gracz ma po 1 talii kart.
Pytanie jest takie : jakie jest prawdopodobieństwo tego, że
wszystkie karty na tej samej pozycji w kupkach są różne.
Rozumiem, że Grześ założył, że kolejne zdarzenia są niezależne więc
ich prawdopodobieństwo jest takie same i wynosi 1/52 trafienia w tę
samą kartę.

Rozpatrzmy to na razie na mniejszym zbiorze kart tzn mamy po 2 karty.
Rozumując podobnie otrzymamy (1/2)^2= 1/4 że wygra A.
Jednak rozpatrując wszystkie przypadki widzimy, że mamy 4
możliwości, z których 2 wygrywa A, a 2 wygrywa B więc
prawdopodobieństwo wygranej A wynosi 1/2.
Wynika to z faktu, że jeśli pierwsza karta się nie pokrywa to i
druga będzie różna, bo zdarzenia są zależne.

Wracając teraz do 52 kart, przy I próbie mamy prawdopodobieństwo
wyboru tej samej karty 1/52, ale jeśli gramy dalej to znaczy, że w
drugim ruchu prawdopodobieństwo jest już mniejsze bo obaj mają po 51
kart, z których jedynie 50 się pokrywa.

[Gość: sqw]

a mnie sie wydaje że prawdopobobieństwo że A wygra jest 1-1 bo nie ma w tali
identycznych kart tj.np. 5karo i 5karo...

[Gość: A]

Ale oni mają 2 talie...