Pytanie o grawitację

[Gość: Elvis]

Mam taki problem: wyobraźcie sobie walec o przekroju np. 1km i długości 500000000000km i jakiejś tam masie (przykład). Jak na jego powierzchni będzie sie rozkładała siła grawitacji? chodzi mi np. w punkcie na środku powierzchni walca, na przejściu do podstawy i na środku podstawy?

[prezesmiernik]

Wedle mechaniki klasycznej:
Znajdź środek masy walca (jeżeli jest jednorodny to jest oczywiście w środku
geometrycznym). Siła grawitacji F=G*M*m/r^2, a zwrot tego wektora jest wedle
prostej łączącej środki mas obu ciał.
Tutaj "r" będzie odległością od środka masy walca.

Przy założeniu jednorodności walca będzie tak.
Jeżeli walec ma wysokość 2*H oraz promień podstawy R:
r1 = R na środku powierzchni walca
r2 = sqrt(H^2+R^2) na przejsćiu do podstawy.
r3 = H na środku podstawy
Oznaczę sobie przez K stałą cześć K=G*M*m
Wtedy F1 = K/R^2 (siła na środku walca)
F2 = K/(H^2+R^2) (siła na przejściu do podstawy)
F3 = K/H^2 (siła na środku podstawy)

[mlekota]

NIE. Liczysz tak, jakby walec przyciągał tak samo, jak punktowa masa znajdująca się w jego środku. Tak jest dla kuli (trójwymiarowej), ale nie dla walca.

[prezesmiernik]

NIE?
A jak wedle ciebie przyciąga walec?
Bo wedle mechaniki klasycznej wszystko przyciąga jak masa punktowa, bo każdą
siłę można zaczepić w środku masy. Ciało może mieć kształt banana, albo wyplutej
gumy do żucia i nic się nie zmieni.

[mlekota]

Nieprawda. Każda cząstka każdego ciała oddziaływuje grawitacyjnie, a wypadkowa siła grawitacyjna tych wszystkich cząstek powstanie przez zsumowanie (czy raczej scałkowanie) tych wszystkich oddziaływań. W przypadku kuli tak się składa, że wypadkowe oddziaływanie jest takie samo, jak punktowej masy równej masie kuli i znajdującej się w jej środku. W przypadku ciał o innych kształtach jest inaczej.

Bez obliczeń, tylko na logikę:
Wyobraź sobie kulę o masie M i o średnicy, dajmy na to, 1 km i ciało znajdujące się w odległości 10 km od jej środka. Teraz wyobraź sobie obiekt złożony z dwóch małych kul o masie M/2 odległych o 1000 km połączonych długim lekkim prętem i znów ciało znajdujące się w odległości 10 km od środka masy tego obiektu. W obu przypadkach masa jest ta sama i odległość od środka masy jest ta sama. Czy uważasz, że również przyciąganie w obu przypadkach będzie takie samo?

[Gość: Elvis]

Dzięki za próby odpowiedzi. Niestety przyciąganie danego ciała zmienia sie wraz z jego kształtem, dlatego mam taki problem z tym walcem. Jednak chodziło mi bardziej o odpowiedź w jakich punktach to przyciąganie będzie większe, gdzie mniejsze i jakie to będzie miało skalę (np. mniej więcej, ile razy wieksze będzie na końcach niż w środku)?

[Gość: michal_pilot]

Sluchaj, ten problem mozna rozwiazac przy pomocy rownan Gaussa. Najgorzej
bedzie przy koncu cylindra - to bedzie wymagalo niezlej matematyki - mozesz to
policzyc numerycznie na komputerze. Melkat to wszytko dobrze opisal jak to
nalezaloby zcalkowac. Idealny problem na komputer.

Problem natomiast bardzo sie upraszcza jak zalozysz ze cylinder ma nieskonczona
dlugosc. Wtedy sila grawitacyjna bedzie sie zmieniac jak 1/R (gdzie R jest
odlegloscia od walca).

[Gość: Elvis]

Chodzi właśnie o to, że ten walec nie ma być nieskończony, a tylko bardzo
długi. Co do równań, to gdzie mozna w internecie coś takiego znaleźć? lub jakie
programy mogą to policzyć i zasymulować (najlepiej w kilku wymiarach, 4
konkretnie, coś jak np. 2 wymiarową płaszczyznę w 3 wymiarowej przestrzeni)
wartości nie muszą być dokładne i własnie końce tego walca najbardziej mnie
interesują.

[Gość: Elvis]

Dobra, zagalopowaem się z tymi wymiarami. chodzi mi o 3 wymiarową brylę w
przestrzeni 3d.

[Gość: michal_pilot]

mlekota dobrze pisze ...

W przypadku nieskonczenie dlugiego walca ostateczna sila bedzie sie zmieniac
jak 1/R a nie jak 1/R/R w przypadku kuli. Problem jest bardzo podobny do
elektrostatycznych problemow rozwiazywalnych przy pomocy rownan Gaussa.

Niw prawda

[abstrakt2003]

Gdyby to co napisałeś było prawdą to cos takiego jak grawimetria było by
pozbawione sensu. A grawimetria jest jedną z ważniejszych metod badawczych
stosowanych w geofizyce.
P.S.
Proste zadanie teoretyczne:
Wyodraź sobie dwie planety wielkości Ziemi położone w odległości 1 sekundy
świetnej od siebie sztywno połączone (takie gigantyczne hantle). Zgodnie z tym
co napisałeś wszystko byłoby przyciągane do środka ciężkości takiego układu.
Co nie jest prawdą.