Intuizjonizm w matematyce

[facet123]

W innym wątku pojawił się temat matematyki intuicjonistycznej.
Pytania:
1. W jaki sposób intuicjonistyczne podejście radzi sobie z liczbami rzeczywistymi nie uznając, że alef0 < continuum?
2. W jaki sposób podchodzi do dowodu przekątniowego?
3. Czy prawdą jest, że w matematyce intuicjonistycznej nie operuje się na liczbach nieobliczalnych (takich których nie sposób algorytmicznie wygenerować z dowolną dokładnością)? Jeżeli tak, to nie ma tam zbiorów spójnych? Nie ma pojęcia ciągłości?

Niby liczby nieobliczalne nie są do niczego "potrzebne" - prawie każda liczba jaką potrafimy nazwać jest obliczalna i jest ich tylko alef0 - te losowe i nieobliczalne liczby rzeczywiste wypełniają tylko przestrzeń, ale bez nich, jeżeli dobrze mi się wydaje, spora część pojęć matematyki traci sens

[stefan4]

facet123:
> 1. W jaki sposób intuicjonistyczne podejście radzi sobie z liczbami
> rzeczywistymi nie uznając, że alef0 < continuum?

Może tylko dla ostrożności: intuicjonista nie zgodzi się również na równość w miejsce Twojej nierówności. Powie, że nie ma dowodu ani na mniejszość ani na równość i że trzeba pozostać przy niewiedzy. Można udowodnić (klasycznie) istnienie zgodnych z intuicjonizmem światów, w których zachodzi mniejszość i istnienie zgodnych z intuicjonizmem światów, w których zachodzi równość.

Dowód tej nierówności klasycznie przeprowadza się wykazując nierównoliczność dowolnego zbioru X i jego zbioru potęgowego (czyli zbioru podzbiorów P(X). Dopiero potem uzasadnia się, że moc zbioru P(Nat) jest taka sama jak moc zbioru Real. A dowód tej nierównoliczności idzie tak. Załóżmy, że istnieje surjekcja (czyli funkcja ,,na'') f:X-->P(X) i rozpatrzmy zbiór

    X' = {x∈X | x∉f(x)}

oraz taki x'∈X, że f(x')=X' (funkcja f jest surjekcją). Teraz:

• jeśli x'∈X'=f(x'), to x'∉X', sprzeczność;
  
• jeśli x'∉X'=f(x'), to x'∈X', sprzeczność.
  

Ponieważ tertium non datur, doprowadziliśmy do sprzeczności założenie o istnieniu funkcji f.

Otóż w matematyce intuicjonistycznej tertium datur i sprzeczności nie ma. Pokazaliśmy tylko, że nie jest możliwe x'∈X' ani x'∉X'; mamy więc

    (¬ x'∈X') ∧ (¬ ¬ x'∈X')

(intuinicjonistyczne negacje nie kasują się), czyli

    ¬ (x'∈X' ∨ ¬ x'∈X')

No i OK, powie intuicjonista; alternatywa p∨¬p nie jest tautologią intuicjonistyczną.

facet123:
> 2. W jaki sposób podchodzi do dowodu przekątniowego?

No właśnie zademonstrowałem dowód przekątniowy i powody jego odrzucenia przez intuicjonistę. Nie ma sprowadzania do sprzeczności: jak chcesz coś wykazać, to wykaż wprost.

facet123:
> 3. Czy prawdą jest, że w matematyce intuicjonistycznej nie operuje
> się na liczbach nieobliczalnych (takich których nie sposób
> algorytmicznie wygenerować z dowolną dokładnością)?

Tak. Istnieją liczby algebraiczne, czyli pierwiastki równań wielomianowych o wymiernych współczynnikach. Istnieją granice efektywnie zadanych monotonicznych ciągów ograniczonych takich liczb. Ale to jeszcze daleko nie wyczerpuje wszystkich klasycznych liczb rzeczywistych.

facet123:
> Jeżeli tak, to nie ma tam zbiorów spójnych?

Jak najbardziej są. Zbiór X jest niespójny, jeśli da się przedstawić w postaci

    X = A∪B    gdzie    A∩B = ∅

i zarówno A jak B są otwarte i jednocześnie domknięte w X.
Intuicjonista ma do dyspozycji mniej zbiorów, na które mógłby rozbić X. Jeśli masz na myśli np.

    A = {x∈Real | x<r}    oraz
    B = {x∈Real | x>r}

gdzie r jest jakąś liczbą nieobliczalną, to przecież intuicjonista nie uznaje istnienia r, więc nie mógłby tych zbiorów zdefiniować, więc rozbicia nie osiągnie.

facet123:
> Nie ma pojęcia ciągłości?

Jest, z tego samego powodu. Żeby funkcja była nieciągła, musiałaby odrywać granicę jakiegoś ciągu od tego ciągu

[staly_repetent]

stefan4 napisał:

> Może tylko dla ostrożności: intuicjonista nie zgodzi się również na równ
> ość w miejsce Twojej nierówności. Powie, że nie ma dowodu ani na mniejszość an
> i na równość i że trzeba pozostać przy niewiedzy.

Perfect.No to ja jestem zdecydowanie intuicjonista matematycznym.
Ale pieknego tytulu sie dorobilem.Hahahahaaaaa..

[alsor]

> Perfect.No to ja jestem zdecydowanie intuicjonista matematycznym.
> Ale pieknego tytulu sie dorobilem.

To właśnie Cantor i Hilbert opierali się na intuicji -
stąd te nonsensy w matematyce... np. nieskończony hotel Hilberta itp. bzdety.

Nazwa pewnie nadana przez współczesnych głupków,
którzy dali się nabrać na te intuicyjne banały Cantora i Hilberta.

Argument przekątnej nic tu znaczy: zakłada głupek że
ma nieskończone ciągi w tabeli, no to jasne że otrzyma
serię sprzeczności - liczby to nie liczby itd.

Topologia to też intuicyjne banały półgłówków,
którzy tylko bezmyślnie zapisują symbole, przekształcają
wzory wg schematu - proste programiki komputerowe też tak potrafią.