Pole trapezu

[piszebzdury]

Jest trapez o podstawach AB i CD.
Jego przekątne przecinają się w punkcie O.
Pole trójkąta ABO wynosi p.
Pole trójkąta CDO wynosi q.
Ile wynosi pole całego trapezu?

Bardziej od samego wyniku potrzebuję toku rozumowania...

[Gość: grzesiek]

Pomysł jest taki: oznaczmy przez alfa stosunek długości podstaw -

alfa = CD/AB.

Z twierdzenia Talesa wynika że wysokości dwu wspomnianych trójkątów
również są równe alfa, czyli:

h2/h1 = alfa (h1 to wysokość od AB do O, h2 od CD do O).

Teraz we wzorze q = CD*h2/2 zamienić CD przez AB*alfa i h2 przez h1*alfa
i wychodzi q = p*alfa*alfa. Stąd można wyznaczyć alfa:

alfa = sqrt(q/p).

Stosując takie same podstawienia na CD i h2 we wzorze na pole trapezu
S = (AB+CD)*(h1+h2) / 2, a następnie rozwijając spowrotem alfa można
przekształcić go do postaci:

S = p+q+2*sqrt(p*q)

(pewnie można by się obyć bez używania alfa, ale tak mi było prościej).

[piszebzdury]

Dziękuję bardzo

[Gość: Kujonik]

Trochę inaczej: Zauważ,że trójkąty górny o polu p i dolny o polu q sa podobne i
ich skale podobieństwa jest k, takie że k^2=p/q. Jezeli w dolnym trójkącie
podstawa i wysokość wynosza ospowiednio a i h to w górnym otrzymasz podstawę
a*k i wysokośc h*k. Z wzoru na pole trapezu
P=1/2(a+ak)(h+hk)= 1/2ah(1+k)^2 = q(1+2k+k^2)= (q + 2V(pq) +p)=
1/2[V(p)+V(q)]^2 ponieważ 1/2ah = q , zaś k=V(p/q) (symbol V() oznacza
pierwiastek)