Geometria

[evamarija]

Dla lubiacych geometrie:

Zadanie w tresci dosc banalne:
Na dowolnym trojkacie o bokach abc opisano okrag. Wysokosci trojkata leza na
prostych, ktore przecinaja ten okrag. Te trzy punkty tworza kolejny trojkat i
trzeba policzyc dlugosci wysokosci tego trojkata.

Jesli komus sie udalo - poprosze o kolejne twierdzenia ktore wykorzystal i
podanie odpowiedzi. Moze wtedy dojde gdzie tkwi haczyk.

[Gość: PM]

Zadanie jest skomplikowane rachunkowo, ale sama idea jest dosyć prosta. Znając
długości bokow trójkąta mamy możliwośc "dojscia" do wszystkich jego elementów
(dlugości potrzebnych odcinków i wartości funkcji trygonometryczxnych kątów)
oraz promieni kół z nim zwiazanych. Proste zawierające wysokości trójkata o
danych bokach przecinaja sie w punkcie P, zaś punkty ich przecięcia z okręgiem
opisanym są obrazami punkty P w symetrii względem odpowiednich bokow.(Wynika to
z porównania kątów powstałych w punkcie P z kątami wpisanymi -zrób w miare
precyzyjny rysunek) To pozwoliwyznaczyć dlugości odcinków przedłużających
wysokości i teraz z tw sinusów można wyznaczyć długości bokow nowoutworzonego
trójkąta. Znając boki bez klopotów wyliczysz wysokości, Wyrażenia otrzymasz
dosyc skomplikowane i kłopotliwe do uproszczeń.Załóż,że znasz już pole(wzór
Herona) i kąty. Uzupełnisz później. Bez edytora nic więcej nie mogę
pomoc.Powodzenia!

[butelka_kleina]

" Proste zawierające wysokości trójkata o
danych bokach przecinaja sie w punkcie P, zaś punkty ich przecięcia z okręgiem
opisanym są obrazami punkty P w symetrii względem odpowiednich bokow.(Wynika to
z porównania kątów powstałych w punkcie P z kątami wpisanymi -zrób w miare
precyzyjny rysunek)"

Czy moglbys/moglabys dokladniej opisac jakie katy porownujesz? TA symetria nie
sprawdza sie dla trójkąta rozwartokątnego niestety. A jeżeli nie masz danych
boków (bo tak faktycznie jest w zadaniu) to można dojść do sensownego rozwiązania?
Z góry dziękuje

[Gość: PM]

Opisana symetria zachodzi w kazdym trójkącie. W rozwartokatnym P jest na
zewnątrz koła, ale wierzchołki poszukiwanego tójkąta sa obrazami P , chc na
rysunku jest trochę ciasno. Metoda taka, jak opisana przez pam31

Szkic rozwiązania

[pam31]

Wprowadź oznaczeniaAB=c,BC=a,AC=b; AK,BL,CM – wysokości; Ą’,B’,C – punkty
przecięcia prostych zawierających wysokości z okręgiem.; P – punkt przecięcia
tych prostych.
Rozpatrz czworokąt APBC’. Przekątne tego czworokąta (AB i PC’) są
prostopadłe .
Kąt P=A+B =(kąt KPL) i kątC’=180-C=A+B  katy P C’ są równe .
Czworokąt APBC’ jest deltoidem  punkty PiC’ są symetryczne zgredem prostej AB.
Podobnie pary punktów: P i Ą’, P i B’. Trójkąt A’B’C’ jest obrazem trójkąta KLM
w jednokładności o srodku P i skali s=2.. Wyznaczymy boki tego trójkata .
W trójkącie MBK łatwo obliczymy MB=a cos, KB=c cos i z tw kosinusów:
(MK)^2 =(a cosB)^2+(c cosB)^2 -2ac(cosB)^3 = (cosB)^2 {a^2 +c^2-2ac cosB}=
=(b cosB)^2  MK = b cosB
Podobnie ML = a cosA; KL= c cosC
Mamy już boki nowego trójkąta:a cosA, b cos, c.cosC możemy więc wyznaczyć jego
pole powierzchni i następnie kolejne wysokości.. Końcu występujące wartości
funkcji tryg. Uzależnić od boków a,b,c z tw kosinusów

[evamarija]

Zle napisalam - nie ma danych. To znaczy mozesz zaczac od katow bokow czy
wysokosci. Natomiast koncowe rozwiazanie ma byc np. wynikiem proporcji np.
wysokosci sa zawsze w stosunku 1:2:1 - chodzi o znalezienie tej zaleznosci.

[Gość: PM]

zadanie brzmiało:
Na dowolnym trojkacie o bokach abc opisano okrag. Wysokosci trojkata leza na
prostych, ktore przecinaja ten okrag. Te trzy punkty tworza kolejny trojkat i
trzeba policzyc dlugosci wysokosci tego trojkata.
W tym zadaniu sa dane a,b,c,( choć nie ma danych liczbowych). Wysokości są
odwrotnie proporcjonalne do odpowiednich bokow(ich długości).Wygląda,że czegos
w tym nie rozumiesz, albo podałes inne zadanie.Szykane wysokości musza byc
wyrazone tylko przez te dane a,b,c.

[Gość: Kujonik]

Dla każdego trójkąta oprócz prostokątnego poszukiwany trójkąt ma wymiary dwa
razy większe od trójkata wyznaczonego przez spodki wysokości (K,L,M) trojkata o
danych bokach a,b,c. (Oznaczenia wg pam31)

[evamarija]

Wlasnie na tym polega sztuczka zadania, zeby nie wyrazic go w postaci danych
ale w postaci a la twierdzenia jak u Kujonika. Jak doszedles do tych wnioskow?

[Gość: Kujonik]

evamarija napisała:
Wlasnie na tym polega sztuczka zadania, zeby nie wyrazic go w postaci danych
ale w postaci a la twierdzenia jak u Kujonika. Jak doszedles do tych wnioskow?
Zdedcyduj sie, o co Ci chodzi? Podajesz zadanie, które prawdopodobnie ktos Ci
sformułował ustnie i nie bardzo pamiętasz szczegóły. Podaj konkretną treść
zadania i nie komentuj . Mój wniosek o trójkącie wynika bespośrednio z
precyxyjnego rozwiązania poprzednika.Jesli tego nie widzisz, weź łatwiejsze
zadania ze zbioru.Tam żądania sprecyzowane są jednoznacznie.

[butelka_kleina]

Nie wato sie denerwowac.
Własciwa treść zadania:
W trójkącie wpisanym w okrąg wysokości przedłużono do przeciecia z okręgiem.
punkty te połączono, tak że tworzą nowy trójkąt. Oblicz wysokości nowego trójkąta.

Pomyłka w tresci zadania wynikala z nieporozumienia. No i zadania nie jest
niestety z żadnego zbioru.

Uwagi o zadaniu

[Gość: Kujonik]

butelka_kleina napisała:

> Nie wato sie denerwowac.
> Własciwa treść zadania:
> W trójkącie wpisanym w okrąg wysokości przedłużono do przeciecia z okręgiem.
> punkty te połączono, tak że tworzą nowy trójkąt. Oblicz wysokości nowego
trójkąta.
> Pomyłka w tresci zadania wynikala z nieporozumienia. No i zadania nie jest
> niestety z żadnego zbioru.
To,że nie jest ze zbioru - jest widoczne, bo jest błędnie sformułowame.Ktoś
niedopracował problemu. Nie można obliczać tam , gdzie nic nie jest dane.
Szukane wysokości są zalęzne od elementów trójkąta wpisanego w koło i można
szukać związku międzu np promieniem koła opisanego, na trójkącie, kątami tego
trójkąta i szukanymi wysokościami.
Boki nowego trójkata są R sin2A. R sin2B, R sin2C. Znając boki wyznaczymy
wysokości i mp ich stosunek uzalezniony tylko od funkcji kątów.
W zadaniupowinny być zastrzeżenia, bo np dla trójkąta prostokątnego nowy
trójkąt jest zredukowany do odcinka.

[butelka_kleina]

To,że nie jest ze zbioru - jest widoczne, bo jest błędnie sformułowame.Ktoś
niedopracował problemu. Nie można obliczać tam , gdzie nic nie jest dane. \

To jest zadanie z egzamimu sformułowane przez profesora (zwyczajnego)
matematyki. Mysle ze z nim powinnienes przedyskutowac ewentualne
niedociagniecia. Pozdrawiam

[evamarija]

> Kujonik napisał:
> To,że nie jest ze zbioru - jest widoczne, bo jest błędnie sformułowame.Ktoś
> niedopracował problemu. Nie można obliczać tam , gdzie nic nie jest dane.

Na tym wlasnie polegaja uroki wyzszej matematyki - nie dzialamy na liczbach, nie
dzialamy na danych. Szukamy niezmiennych zaleznosci - jak twierdzenie
Pitagorasa. Nie potrzeba danych zeby udowodnic ze zachodzi dla kazdego trojkata
prostokatnego.

[Gość: Kujonik]

Twierszenie Pitagorasa wyraża związek między długożciami boków. Dla wysokości
trójkata jest twierdzenie: Stosunek długości wysokości w dowolnym trójkącie
jest równy stosunkowi odwrotnosci długości odpowiednich boków(podstaw). W
Waszym zadaniu można to ując tak a':b':c'=1/sin2A : 1/sin2B : 1/sin2C
gdzie a',b',c' to wysokości nowego trójkata, zas A,B,C - kąty początkowego
trojkata, z warunkiem że trójkat nie jest prostokątny. Dla trójkata
rozwartokatnego jedna wysokośc jest ujemna - zwiazane to jest z tym,że dwa
spodki wysokości trójkata ABC "wypadaja " poza trojkatem.Twierdzenie można
sformułować
Wysokości trójkata opisaanego w zadaniu sa odwrotnie proporcjonalne do
odwrotności modułów sinusów podwojonych katów danego trójkata.
Nie da się sformułować twierdzenia o wysokosci bez związku z innymi elementami
trojkata,które uznajemy za dane.
Fakt przedstawienia zadania przez profesora matematyki swiadczy tylko o tym,ze
nie ma ludzi nieomylnych.
Zadanie powinno (wg.mnie) konczyc polecenie: Wyznaczyć atosunek wysokości
otrzymanego trójkata w zależności od elementów danego trójkata.
Jestem gotów wytknąc usterki autorowi zadania bezposrednio .

[Gość: pam31]

evamarija napisała:

Na tym wlasnie polegaja uroki wyzszej matematyki - nie dzialamy na liczbach,
nie dzialamy na danych. Szukamy niezmiennych zaleznosci - jak twierdzenie
> Pitagorasa. Nie potrzeba danych zeby udowodnic ze zachodzi dla kazdego
trojkata prostokatnego.

Tylko wtedy nie mówimy oblicz, tylko wyznzcz związek między danymi i takimi
danymi sa boki w tw. Pitagorasa, odcinki w tw Talesa itd. Danymi sa obiekty
wystepujące w założeniu twierdzenia, a teza mówi o związku między nimi.