Totolotek

[marchewa4]

Dla odmiany prosta zagadka zwiazana z liczeniem:

Pewien roztargniony matematyk skreslil na kuponie totolotka (umowmy sie, ze w
tej grze skresla sie 5 z 49 liczb) takie liczby, ze suma ich logarytmow
dziesietnych byla liczba calkowita. Potem zapodzial gdzies swoj kupon.
Okazalo sie, ze liczby, ktore zostaly wylosowane spelniaja tez ten warunek
(suma ich logarytmow dziesietnych jest liczba calkowita). Czy oplaca sie
szukac kuponu? ;-)
Tzn. jakie jest prawdopodobienstwo, ze roztargniony matematyk trafil 5, co
najmniej 4, co najmniej 3?

M.

[cardemon]

Wyszlo mi, ze jak najbardziej sie oplaca! Szansa na trafienie czegokolwiek
wynosi bowiem 13.06%. Czy dobrze policzylem?

pzdr. CdM

[cardemon]

cardemon napisał:

> Wyszlo mi, ze jak najbardziej sie oplaca! Szansa na trafienie czegokolwiek
> wynosi bowiem 13.06%. Czy dobrze policzylem?

Oj zle policzyles, jaka perfidna ta zagadka! :) I jakie podchwytliwe
pytanie "trafil co najmniej 4, co najmniej 3...".
Trafienie piatki jest z prawdopodobienstwem 0.1, a w reszcie sie juz pogubilem.
Moze odnajde sie jutro...

pzdr. CdM

[cardemon]

Zadanie przy tak postawionym pytaniu jest rzeczywiscie iscie diablelskie. O ile
dosc latwo wyliczyc, ze prawdopodobienstwo trafienia piatki jest rowne 0.1, o
tyle z reszta jest klopot. Dlaczego? Dlatego, ze niektore "czworki" od razu
implikuja "piatke", nawet niektore "trojki" to robia. Wiec o ile latwo
wyliczyc, ze wszystkich mozliwych czworek jest 47, to przynajmniej 26 z nich
jest "falszywych", bo od razu wymusza piata liczbe. Podobnie jest z niektorymi
trojkami (przynajmniej 28 na 94 od razu "wymusza" piatke). Ciezko jest to
wyliczyc matematycznie, trzeba by raczej rozpisac wszystkie uklady i porownac,
ale na to, to ja juz sie nie pisze. :)
A moze ktos sie odwazy to rowiazac prosciej?

Pozdrawiam i skladam slowa uznania dla tej lamiglowki,
CdM

[marchewa4]

Po pierwsze: musze sie przyznac do pomylki. Jak pierwszy raz rozwiazywalem to
zadanie, to "zapomnialem" o liczbie 1 i wszystko bylo duzo latwiejsze
(proponuje rozwiazujacym rowniez na chwile "zapomniec" o 1 i zobaczyc co
wychodzi).
Po drugie: zadanie znalazlem w internecie, bez rozwiazania, ale z odpowiedzia.
Pytanie bylo tylko o piatke, a odpowiedz 1/4 (bledna notabene, chyba, ze ten
ktos ten "zapomnial" o 1).
Po trzecie: sprobuje pokazac jak sie zabralem do rozwiazywania i co uzyskalem.
Zeby suma logarytmow dziesietnych wylosowanych/skreslonych liczb byla liczba
calkowita, to na podstawie znanego twierdzenia iloczyn tych liczb musi byc
calkowita potega 10.
Wchodza w gre tylko liczby, ktore w rozkladzie na czynniki pierwsze maja 2 lub
5 i nic innego oraz nieszczesna 1.
Te liczby (z podanego w zadaniu zakresu) to: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 32,
40. Dla kazdej z tych liczb zapiszmy roznice miedzy liczba 2 i liczba 5, ktore
wystepuja w rozkladzie tych liczb na czynniki pierwsze.
Otrzymujemy odpowiednio: 0, 1, 2, -1, 3, 0, 4, 1, -2, 5, 2. Posortujmy, zeby
bylo latwiej: -2, -1, 0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5.
Warunek, zeby iloczyn liczb wyjsciowych byl calkowita potega 10, mozna
sprowadzic do warunku, ze suma zapisanych powyzej cech jest rowna 0.
Nietrudno zauwazyc, ze jest to spelnione dla nastepujacych zestawow:
I) -2, 0, 0, 1, 1 (1 zestaw)
II) -2, -1, 0, 0, 3 (1 zestaw)
III) -2, -1, 0, 1, 2 (8 zestawow).

Prawdopodobienstwo trafienia 5 wynosi zatem, jak slusznie zauwazyl CdM 10%.

Zobaczmy jak policzyc prawdp., ze trafiona zostala co najmniej trojka (co
najmniej czworka):
a) z prawd. 80% matematyk skreslil jeden z zestawow III.
1) z prawd. 10% wylosowany zostal zestaw I -> trojka pewna (100%), czworka
niemozliwa (0%)
2) z prawd. 10% wylosowany zostal zestaw II -> trojka pewna (100%), czworka
niemozliwa (0%)
3) z prawd. 80% wylosowany zostal zestaw III ->
prawd. trojki 87.5% (przy ustalonym ukladzie matematyka, tylko jeden
wylosowany uklad nie sprzyja uzyskaniu trojki)
prawd. czworki 50%
b) z prawd. 10% matematyk skreslil zestaw I.
1) z prawd. 10% wylosowany zostal zestaw I -> trojka pewna (100%), czworka
pewna (100%)
2) z prawd. 10% wylosowany zostal zestaw II -> trojka pewna (100%), czworka
niemozliwa (0%)
3) z prawd. 80% wylosowany zostal zestaw III -> trojka pewna (100%), czworka
niemozliwa (0%)
c) z prawd. 10% matematyk skreslil zestaw II.
1) z prawd. 10% wylosowany zostal zestaw I -> trojka pewna (100%), czworka
niemozliwa (0%)
2) z prawd. 10% wylosowany zostal zestaw II -> trojka pewna (100%), czworka
pewna (100%)
3) z prawd. 80% wylosowany zostal zestaw III -> trojka pewna (100%), czworka
niemozliwa (0%)

Uwaga! Okreslenie "trojka pewna" w powyzszym opisie znaczy "uzyskanie co
najmniej 3 jest pewne", podobnie "czworka pewna".

Posumujmy, co trzeba:
P(co najmniej 3) = 80%*10%*100%+80%*10%*100%+80%*80%*87.5% + 10%*100% + 10%
*100% = 92%
P(co najmniej 4) = 80%*80%*50% + 10%*10%*100% + 10%*10%*100% = 34%
P (5) = 10%

M.

PS. Ufff! Ale sie wkopalem.

[lukkasz]

Ladnie to wyprowadziles, tylko chyba pominales 45, co daje jeszcze pare
zestawow?
Pozdrawiam

[marchewa4]

lukkasz napisał:

> Ladnie to wyprowadziles, tylko chyba pominales 45, co daje jeszcze pare
> zestawow?

45 = 3*3*5
Jako podzielne przez 3 nie spelnia warunku.

M.

[lukkasz]

oj, za pozno w nocy siadam do tych lamiglowek... :)