dawać tu fajne wzory

[alsor]

Ja mam taki fajny wzór:
(1+2+3+ ... + n)^2 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... n^3;

geometryczne biorąc z prawej mamy kwadrat,
a z lewej sześcian: m^2 = m^3!?

Niekoniecznie.
Odpowiednik w ciągłych - zamiast sum całki:
(int ndn)^2 = int n^3dn; w granicach od 0 do n;
(n^2/2)^2 = n^4/4; pasuje?
wymiar się zgadza - i wynosi 4: m^4 = m^4;

[staly_repetent]

alsor napisał:

> Ja mam taki fajny wzór:
> (1+2+3+ ... + n)^2 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... n^3;
>

Rzeczywiscie,fajny wzor bo bardzo uzyteczny.Gdyby dzieciom w podstawowce
pokazac go to nie musialy by sie uczyc na pamiec rozwiniec kwadratu czy szescianu
sumy.Ciekawe czy to mozna uwazac za sciage?bo dzieci na tym poziomie nie powinny
omijac dzialan na liczbach lecz je cwiczyc.Jak sa tu jacys pedagodzy to niech cos bekna.

Dla fizyka fajne wzory matematyczne to np. takie :

e^(pi*i) +1 = 0

albo

i^i = e^(-pi/2)

bo zawieraja po co najmniej dwie stale matematyczne,jak w fizyce,zawsze sa jakies stale.

[alsor]

> e^(pi*i) +1 = 0
> albo
>
> i^i = e^(-pi/2)

To są obliczenia/przekształcenia
a nie wzory - reguły... w poprawny sensie.

e^ix = cosx + isinx;
albo ogólnie - zwyczajne potęgowanie: a^b = e^(b.lna);

[staly_repetent]

alsor napisał:

> To są obliczenia/przekształcenia
> a nie wzory - reguły... w poprawny sensie.
>
Tak,to sa zwiazki pomiedzy stalymi jakby ktos nie wiedzial co zrobic z "i" bo urojone
i moze za chwile zniknac.Blehehee...

> e^ix = cosx + isinx;

to natomiast,to jest tozsamosc a wiec innym slowy rownanie bezwarunkowe (o ile pamietam
taka dawna nazwe).

> albo ogólnie - zwyczajne potęgowanie: a^b = e^(b.lna);

A to jest jest wlasnosc logarymtu,ktora wyika z definicji logarytmu tak zreszta jak i te moje
pierwsze wzory ktore wynikaja z definicji stalych.

[hector0]

> alsor napisał:
>
> > To są obliczenia/przekształcenia
> > a nie wzory - reguły... w poprawny sensie.

Jak to nie wzory to tym bardziej ten twoj.
Tu sa zaleznosci pomiedzy szeregami nieskonczonymi a u ciebie ciagami skonczonymi.
Liczby nie widza w tym roznicy,tylko ty,bo cos jest dla ciebie latwiejsze.
Nie dziwilbym sie matematykowi,bo oni maja klapki na oczach,ale ty?fizyk?:)

[alsor]

> Liczby nie widza w tym roznicy,tylko ty,bo cos jest dla ciebie latwiejsze.

Wiedzą.

> Nie dziwilbym sie matematykowi,bo oni maja klapki na oczach,ale ty?fizyk?:)

Fizyk i matematyk to tylko wyrobnicy - rzemieślnicy.
Ja jestem... poszukiwaczem.

[al-kochol-8]

> Fizyk i matematyk to tylko wyrobnicy - rzemieślnicy.
> Ja jestem... poszukiwaczem.

Geolog?

[asteroida2]

> (1+2+3+ ... + n)^2 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... n^3;
>
> geometryczne biorąc z prawej mamy kwadrat,
> a z lewej sześcian: m^2 = m^3!?

Geometrycznie biorąc, z obu stron mamy czwartą potęgę:
1+2+3+...+n = Θ(n^2)
(1+2+3+...+n)^2 = Θ(n^4)
1^3+2^3+...+n^3 = Θ((n/2)*(n/2)^3) = Θ(n^4)
(Druga połowa sumy jest dominująca i zawiera n/2 wyrazów większych od (n/2)^3)

A z fajnych wzorów, mogę podrzucić to:
1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ... = 1/4

en.wikipedia.org/wiki/1-2+3-4+...
pl.wikipedia.org/wiki/1-2+3-4+...

[alsor]

> A z fajnych wzorów, mogę podrzucić to:
> 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ... = 1/4

no ale to jest chyba bezużyteczne... podobnie jak: 1 = 1;

rozwinięcie fajnego wzoru

[alsor]

> (1+2+3+ ... + n)^2 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... n^3;

a teraz bierzemy liczbę, powiedzmy 24
i wypisujemy wszystkie dzielniki,
a obok jeszcze ilość podzielników każdego;

np. 4 ma 3: 1 2 i 4, więc zapiszemy tak:

p, n
1, 1 - jeden ma 1
2, 2 - 2 ma 2: 1 i 2
4, 3 - 4 ma 3: 1,2 i 4;

Obok dopisujemy jeszcze n^3:
teraz: 24 = 3*8

p, n, n^3
1, 1, 1
2, 2, 8
3, 2, 8
4, 3, 27
6, 4, 64
8, 4, 64
12, 6, 216
24, 8, 512
=========
S: 30, 900

Czyli jest zgodnie z wzorem na początku:
(1+2+2+3+4+4+6+8)^2 = 1^3+2^3+2^3+3^3+4^3+4^3+6^3+8^3

No i co - prawda że fajne?

Wzór uniwersalny

[kornel-1]

Wzór uniwersalny, zwany też od nazwiska autora wzorem Simpsona, służy do obliczania objętości beczki, butli, walca, stożka (także ściętego), kuli, wszelkiego rodzaju graniastosłupów, pryzm i pryzmatoidów:
V=(h/6)*(S1+4S2+S3), gdzie:
V - objętość bryły
h - wysokość bryły
S1 - pole podstawy dolnej
S2 - pole przekroju środkowego
S1 - pole podstawy górnej
Wzór nadaje się również do obliczania pola figur płaskich: równoległoboku, trapezu i trójkąta; w tym wypadku h oznacza wysokość figury, S1 - długość podstawy dolnej, S2 - długość linii środkowej, S3 - długość podstawy górnej.

Zachęcam do testowania ;-)

Na podstawie książeczki "Pi plus oko" Jerzego Życzyńskiego - polecam

Kornel

[al-kochol-8]

to wzor dla tych co lubia sobie zycie utrudniac

[alsor]

> V=(h/6)*(S1+4S2+S3), gdzie:

prawie uniwersalny - z piramidy...

Kula: 2r/6 * 4 pir^2 = 4pi/3 r^3;

Ale kawałek kuli chyba nie wyjdzie, np. r/2 od podstawy itp.

Impresje pitagorejskie :)

[pies_na_teorie]

Kolokwialnie :
Jeżeli na ścianach czworościanu zbudujemy czworościany będące jednocześnie "narożami prostopadłościanów", to kwadrat objętości tego wewnętrznego czworościanu będzie równy sumie kwadratów objętości czworościanów zewnętrznych.

V^2 = V1^2 + V2^2 + V3^2 + V4^2

W przestrzeni E4 zewnętrzne wierzchołki czworościanów można połączyć w jeden i powstaje
w wymiarowy simpleks (odpowiednik czworościanu w E3).

W szczególności w sześcianie:

V^2 = 4V1^2

[alsor]

> V^2 = V1^2 + V2^2 + V3^2 + V4^2

No, to chyba dla dowolnych prostopadłościanów:
bryła n wymiarowa, więc n ścian prostopadłych i wtedy:
S^2 = suma Si^2;

w 2D 2 kwadraty boków 1D: c^2 = a^2 + b^2;
w 3D 3 kwadraty ścian 2D, czyli jakby: d^4 = a^4 + b^4 + c^4;
w 4D 4 kwadraty brył 3D: e^6 = a^6 + b^6 + c^6 + d^6

no i dla równych a,b,c,d jest właśnie (e^3)^2 = 4*(a^3)^2;
a^3 to objętość hiperścian kostki 4D, ale co to jest to e^3 ?

Chyba pole podstawy jakiegoś ostrosłupa 4D - narysuj to.
Te 4 sztuki po a^3 są prostopadłe, a ten e^3 jakoś tnie te 4 pod skosem.

[pies_na_teorie]

> > V^2 = V1^2 + V2^2 + V3^2 + V4^2

> alsor napisał:
> No, to chyba dla dowolnych prostopadłościanów:
> bryła n wymiarowa, więc n ścian prostopadłych i wtedy:
> S^2 = suma Si^2;
>
Raczej nie. Tamto, poprzednie i następne dotyczą simpleksów szczególnych tj. takich, gdzie wszystkie krawędzie przy jednym z wierzchołków są wzajemnie prostopadłe.

> w 2D 2 kwadraty boków 1D: c^2 = a^2 + b^2;
> w 3D 3 kwadraty ścian 2D, czyli jakby: d^4 = a^4 + b^4 + c^4;
> w 4D 4 kwadraty brył 3D: e^6 = a^6 + b^6 + c^6 + d^6
>
Nie tak, mają być kwadraty odpowiednich wielkości wymiaru o jeden mniejszego:
w 2D 3 kwadraty boków 1D (c, a, b, ) : c^2 = a^2 + b^2;
w 3D 4 kwadraty ścian 2D (S, S1, S2, S3) : S^2 = S1^2 + S2^2 + S3^2;
w 4D 5 kwadratów brył 3D (V, V1, V2, V3, V4): V^2 = V1^2 + V2^2 + V3^2 + V4^2
...
dalej indukcyjnie :)

No i to jest uogólnienie Tw. Pitagorasa a nie jakieś różne popłuczyny, z których jedną (kwadrat przekątnej prostopadłościanu...) zastosowano w wiadomym niecnym przedsięwzięciu ;)

> no i dla równych a,b,c,d jest właśnie (e^3)^2 = 4*(a^3)^2;
> a^3 to objętość hiperścian kostki 4D, ale co to jest to e^3 ?
>
(...)

> Chyba pole podstawy jakiegoś ostrosłupa 4D - narysuj to.
> Te 4 sztuki po a^3 są prostopadłe, a ten e^3 jakoś tnie te 4 pod skosem.
>
Kiedyś robiłem rysunki konstrukcyjne do dowodu, jak znajdę, to zamieszczę :)

kwadratowy trójkąt

[alsor]

> > S^2 = suma Si^2;
> >
> Raczej nie. Tamto, poprzednie i następne dotyczą simpleksów szczególnych tj. takich,
> gdzie wszystkie krawędzie przy jednym z wierzchołków są wzajemnie prostopadłe.

Przecież są.

===========
Trójkąt prostokątny o bokach całkowitych, jak np. 3,4,5;
ale żeby dodatkowo pole tego trójkąta było kwadratem liczby całkowitej.

Pole tr. prostokątnego: S = ab/2 = k^2; k - całkowite.

3,4,5: S = 3*4/2 = 6 - nie jest kwadrat...

Można zrobić taki trójkąt?

[pies_na_teorie]

> > > S^2 = suma Si^2;
> > >
> > Raczej nie. Tamto, poprzednie i następne dotyczą simpleksów szczególnych
> > tj. takich, gdzie wszystkie krawędzie przy jednym z wierzchołków są wzajemnie
> > prostopadłe.
>
> Przecież są.
>
...ale prostopadłościan nie jest simpleksem dla D3.

> ===========
> Trójkąt prostokątny o bokach całkowitych, jak np. 3,4,5;
> ale żeby dodatkowo pole tego trójkąta było kwadratem liczby całkowitej.
>
> Pole tr. prostokątnego: S = ab/2 = k^2; k - całkowite.
>
> 3,4,5: S = 3*4/2 = 6 - nie jest kwadrat...
>
> Można zrobić taki trójkąt?
>
Nie wiem, na tym zapewne głowili się od wieków zacni matematycy, więc warto sięgnąć do literatury. Masz jakieś ciekawostki ? Zrewanżuję się przy powierzchniach czworościanu :)

[alsor]

> ...ale prostopadłościan nie jest simpleksem dla D3.

N prostopadłych ścian, czyli tylko narożnik z sześcianu, a nie cały.
Ta N+1 ściana zamyka figurę - trójkąt, bryłę, itd..

> Nie wiem, na tym zapewne głowili się od wieków zacni matematycy,
> więc warto sięgnąć do literatury. Masz jakieś ciekawostki ?

Fermat to wymęczył i dość śmiesznie wyszło.
Wydedukował że gdyby był taki trójkąt,
wówczas musiałby również istnieć mniejszy
od tego pierwszego - i tak można dalej... no i dlatego nie ma ani jednego.

To jest dość zabawna sytuacja... i nawet podejrzewam
że to jest problem dokładnie tego samego typu co:
dlaczego elektron nie spada na proton?

Zresztą postulaty kwantowania Sommerfelda były właśnie twierdzeniem Pitagorasa:
n = n_r + n_t; i wszystkie całkowite (Bohr przyjął tylko jedno: n = całkowite),
co dla pędu oznacza po prostu: p^2 = p_r^2 + p_t^2;
s,t - składowe radialne i styczne