objętość walca

[radio79]

pewnie odpowiedź jest oczywista ale mam w tym momencie niemalże szkolną wątpliwość. Objętość walca mierzmy mnożąc pole podstawy razy wysokość. Pole podstawy to pi r kwadrat. Załóżmy taką hipotetyczną sytuację że mam walec i chcę wiedzieć dokładnie ile wody (lub jakiegokolwiek innego płynu) jestem w stanie do niego wlać. Mogę to zrobić mierząc walec i wyliczając ze wzoru albo doświadczalnie. Jeżeli zrobię to doświadczalnie (sytuacja hipotetyczna) przy użyciu super precyzyjnych narzędzi (pomijając dodatkowe zmienne jak napięcie powierzchniowe czy parowanie) jestem z stanie sprawdzić objętość właściwie co do cząsteczki. To doświadczalnie. A ze wzoru? Przecież liczba pi jest nieskończona więc teoretycznie nie jestem z stanie wyliczyć pojemności co do cząsteczki.

Coś jednak czuję że jakoś da się to wyliczyć, zatem gdzie tkwi błąd?

[pomruk]

Liczba pi (o nieskonczonym i nieokresowym rozwinięciu dziesiętnym, nie nieskończona) jest znana tak wielką dokładnością, że na pewno to nie ona limituje dokładność wyznaczenia objętości z dokładnością "co do cząsteczki". W swoim walcu będziesz miał zapewne 10^24 - 10^25 czasteczek wody, więc przyjęcie, że π = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 82148 08651 32823 06647 09384 46095 50582 23172 53594 08128 48111 74502 84102 70193 85211 05559 64462 29489 54930 38196 wystarczy Ci aż nadto :)

[kamyk_wj]

Każdy pomiar fizyczny obarczony jest skończonym błędem pomiarowym. Zatem nie istnieje możliwość zmierzenia objętości cieczy, jej masy ani liczby cząsteczek z dowolną, nieskończoną dokładnością. Tak jak nie ma możliwości obliczenia liczby PI przez pomiar obwodu okręgu i jego średnicy. Pomiary takie, nawet najdokładniejsze, będą w najlepszym wypadku obarczone błędem równym amplitudzie drgań termicznych badanej materii lub przyrządów pomiarowych. Jeżeli zaś zejść do poziomu kwantowego, niemożliwe będzie bezbłędne ustalenie, gdzie się kończy ostatni atom.
Podsumowując, liczby PI nie da się wyliczyć z żadnych pomiarów fizycznych. PI jest obiektem matematycznym, a matematyka nie jest nauką empiryczną.

[alsor]

> Podsumowując, liczby PI nie da się wyliczyć z żadnych pomiarów fizycznych.
> PI jest obiektem matematycznym, a matematyka nie jest nauką empiryczną.

A niby jaką ma być?

Ludzie wiedzą tylko tyle, ile nazbierali z obserwacji otoczenia w którym funkcjonują.
Innej wiedzy nie ma.

Pi wyliczamy z wielu pomiarów w fizyce, np. wahadło, lub orbita,
a dokładniej chyba ze statystyki, bo pi siedzi w podstawowym rozkładzie - Gaussa.

[kamyk_wj]

Nauki empiryczne to takie, których efekty (twierdzenia, teorie itp) mogą być zweryfikowane za pomocą doświadczenia. Matematyka do nich nie należy. Nie istnieje matematyka eksperymentalna.
Liczba PI figuruje w wielu formułach fizycznych, jednak NIE JEST możliwa do wyliczenia z tych formuł. Za pomocą wahadła, orbity czy innych zjawisk można uzyskać co najwyżej przybliżone wartości dla tej liczby, zawsze ze skończoną dokładnością.

[stefan4]

kamyk_wj:
> Liczba PI figuruje w wielu formułach fizycznych, jednak NIE JEST możliwa do
> wyliczenia z tych formuł. Za pomocą wahadła, orbity czy innych zjawisk można
> uzyskać co najwyżej przybliżone wartości dla tej liczby, zawsze ze skończoną
> dokładnością.

Co to znaczy ,,uzyskać przybliżoną wartość liczby ze skończoną dokładnością''? Np. czy jak powiem, że wartością liczby 2 jest 2, to dokładność będzie ,,skończona'' czy nieskończona?

W tym drugim przypadku mogę powiedzieć to samo o liczbie π: ona jest równa π z ,,nieskończoną dokładnością''. W czym liczba π miałaby być gorsza od liczby 2?

Ona jest tylko w tym gorsza, że nasz ulubiony, przyjęty przez umowę społeczną, system wyrażania liczb preferuje liczby wymierne, a π jest liczbą przestępną. Dlatego nie posiada okresowego rozwinięcia dziesiętnego; więc na pytanie, jaka jest n-ta cyfra rozwinięcia dziesiętnego π, musimy zagłębić się w dość skomplikowane rachunki. Ale to jest ,,wina'' nie tyle liczby π, co systemu dziesiętnego. Zresztą również każdego innego systemu pozycyjnego o całkowitej podstawie.

- Stefan

[kamyk_wj]

dokładność skończona to dokładność określona liczbą różną od zera.
Być może istnieją pomiary fizyczne, gdzie dokładność jest nieskończona (czyli błąd wynosi dokładnie zero), ale tak na zaraz nic mi nie przychodzi do głowy.
O ile wiem, to liczba 2 w ogólnie znanych formułach na siłę grawitacji (coś tam przez odległość ^2) została zweryfikowana z wielką, ale skończoną (czyli różną od zera) dokładnością.
Wydaje mi się, że w żadnym systemie liczbowym (dwójkowym, trójkowym, ..., n-kowym) nie można zapisać liczby PI za pomocą skończonej liczby znaków. Liczba palców u rąk nie ma tu nic do rzeczy.
Matematyka jest doskonałym narzędziem do opisu zjawisk fizycznych, dobrze jednak zdawać sobie na każdym kroku jej stosowania, że jest to abstrakcja. Czyli do ścisłego opisu zjawisk fizycznych w języku matematyki konieczne jest zaniedbanie tych zjawisk, które są nieistotne z punktu widzenia prowadzonych rozważań. Ich zaniedbanie nie oznacza jednak, że tych zjawisk nie ma. W rzeczywistym świecie nie istnieją punkty ani proste w takim sensie, w jakim rozumie to matematyka. Podobnie z innymi idealnymi matematycznymi bytami idealnymi.
Przykład z wartością liczby 2 9która wynosi dokładnie dwa, z nieskończoną dokładnością) jest o tyle chybiony, że liczba i jej moduł są pojęciami matematyki. Tam zaś możliwa jest właśnie dokładność nieskończona i można śmiało powiedzieć, że wartość liczby PI wynosi PI.

[stefan4]

kamyk_wj:
> Być może istnieją pomiary fizyczne, gdzie dokładność jest nieskończona (czyli
> błąd wynosi dokładnie zero), ale tak na zaraz nic mi nie przychodzi do głowy.

Pomiar w fizyce nie musi ograniczać się do wślepiania się w zegary. Może zawierać rozumowanie. Nie wymaga się mierzenia tego, co daje się obliczyć. Dlatego nawet fizyk eksperymentalny akceptuje bez mierzenia, że π jest równe np. 6·arcsin(0.5), albo 4·arctg(1). Z dokładnością nieskończoną, w Twoim sensie.

kamyk_wj:
> Wydaje mi się, że w żadnym systemie liczbowym (dwójkowym, trójkowym, ...,
> n-kowym) nie można zapisać liczby PI za pomocą skończonej liczby znaków.

Napisałem to przecież, w dodatku precyzyjniej: w żadnym pozycyjnym układzie liczbowym o podstawie całkowitej, nie tylko za pomocą skończonej liczby znaków, ale nawet za pomocą nieskończonego ciągu okresowego (czyli złożonego z powtarzanego w kółko odcinka skończonego).

Ale oczywiście da się zapisać, jeśli zrezygnujemy z wymagania, żeby podstawa układu liczenia była całkowita. Np. w układzie o podstawie π, zapisuje się prosto: ,,10'' . Bo to jest 1 razy podstawa układu plus 0, czyli 1·π+0.

kamyk_wj:
> Liczba palców u rąk nie ma tu nic do rzeczy.

No, o tyle o ile... Gdybyśmy mieli niecałkowitą liczbę palców, np. gdyby ich było π zamiast 10, to liczby zapisywalibyśmy inaczej.

Ale po co my rozmawiamy o sposobach zapisu? Dyskusja wyszła od tego, czy znamy liczbę π z nieskończoną dokładnością, a nie czy potrafimy ją zapisać skończonym ciągiem zawijasków na papierze. Otóż π znamy z nieskończoną dokładnością, nawet nie wykonując żadnego pomiaru fizycznego. Wystarczy matematyka.

Z Twoim odróżnieniem prawd fizycznych i matematycznych oczywiście zgadzam się; z taką tylko poprawką, że nie mówiłbym o rozłącznych zbiorach prawd, tylko o zawieraniu. Wszystko, co jest prawdziwe matematycznie, jest też prawdziwe fizycznie, ale nie na odwrót. Wyniki doświadczeń nie muszą mieć dowodu matematycznego

[kamyk_wj]

No tośmy się nie do końca zrozumieli. Ja faktycznie nie doczytałem, że piszesz o układzie pozycyjnym z podstawą całkowitą. W innym układzie, np. o podstawie PI można zapisać PI jako 1. Zdaję sobie z tego sprawę. Z tymi palcami szło mi o to, że dziesiętny albo n-tny nie zmienia zapisu PI w podanym przez Ciebie sensie.

Fizyk (i nie tylko) wie, że liczbę PI można zapisać na dowolną liczbę sposobów, w tym przez Ciebie podane. Jednakże, ze względu na skończony błąd każdego pomiaru, nie ma sensu brać PI ani żadnej innej liczby z dokładnością większą niż np. 100 miejsc po przecinku. Albo 5. Albo 100.000. Co innego więc WIEDZIEĆ, że coś wynosi PI, a co innego zmierzyć tę liczbę metodami fizycznymi bez żadnego błędu (czyli z nieskończoną dokładnością).
Jak na razie pozostaję przy swoim zdaniu, że PI można obliczyć z dowolną dokładnością, np. z rozwinięcia szeregu. Nie jestem w stanie natomiast wyobrazić sobie eksperymentu pozwalającego ZMIERZYĆ (czyli wyznaczyć z liczb otrzymanych dzięki pomiarom) PI. Jeżeli byłbyś w stanie taki eksperyment zaproponować, byłbym wielce ciekaw.
Nie wiem również, jak fizycznie udowodnić, że granica punktowa ciągu operatorów liniowych i jednakowo ciągłych między przestrzeniami Banacha jest ciągłym operatorem liniowym.
Wiem natomiast (a raczej - wiedziałem), jak zastosować to twierdzenie w analizie pól kwantowych. Stosowalność matematyki w fizyce nie oznacza moim zdaniem zawierania się czegoś w czymś. To są oddzielne światy: matematyka jest abstrakcyjnym wytworem ludzkiego umysłu, fizyka to świat materialny. Nie jestem wprawdzie jedyną osobą, która tak uważa, ale zdaję sobie sprawę, że ktoś może uważać inaczej.
PS. Swoją drogą, to ciekawe rozważania. Właśnie takie i podobne przywiodły mnie do wiary metafizycznej, w zupełnie już dojrzałym wieku. Wykracza to jednak poza tematykę tego forum.

hierarchia nauk

[stefan4]

kamyk_wj:
> W innym układzie, np. o podstawie PI można zapisać PI jako 1.

Nie jako ,,1'' tylko jako ,,10''. Podobnie jak w układzie o podstawie DZIESIĘĆ zapisujesz DZIESIĘĆ jako ,,10'' a nie jako ,,1''.

kamyk_wj:
> Co innego więc WIEDZIEĆ, że coś wynosi PI, a co innego zmierzyć tę liczbę
> metodami fizycznymi bez żadnego błędu (czyli z nieskończoną dokładnością).

Ale ja w ogóle nie rozumiem, co to znaczy ,,zmierzyć liczbę metodami fizycznymi'', wszystko jedno z jaką dokładnością. Liczby nie są obiektami fizycznymi i nie dają się mierzyć w zwykłym fizycznym sensie.

kamyk_wj:
> Stosowalność matematyki w fizyce nie oznacza moim zdaniem zawierania się
> czegoś w czymś. To są oddzielne światy: matematyka jest abstrakcyjnym
> wytworem ludzkiego umysłu, fizyka to świat materialny.

No, uważaj, bo tu nie ma symetrii. Informację o tym, że jakiś fragment fizyki zawalił się w wyniku nowych odkryć, matematyk traktuje jako ciekawostkę, niewpływającą na jego twierdzenia. Ale jeśli kawał matematyki okaże się sprzeczny, to fizyk nie może do tego podejść równie lekko; musi przynajmniej sprawdzić, czy jego własna praca nie korzystała z tego kawałka matematyki i ewentualnie przeliczyć jeszcze raz po nowemu. Twierdzenia matematyki są również prawdziwe dla fizyka, podczas gdy twierdzenia fizyki są najwyżej intuicyjnymi ilustracjami dla matematyka.

Podobnie się dzieje wewnątrz samej matematyki. Topologia metryczna i algebra liniowa nie zależą od analizy funkcjonalnej, ale analiza funkcjonalna zależy od nich dwóch. Jakaś wielka wtopa w topologii lub algebrze zmusiłaby analityków funkcjonalnych do ponownego przemyślenia własnych wyników, ale podobna wtopa w analizie funkcjonalnej byłaby tylko ciekawostką dla topologów i algebraików. Natomiast dotknęłaby ich obsuwa w teorii mnogości.

Te światy nie są oddzielne

[kamyk_wj]

> Ale ja w ogóle nie rozumiem, co to znaczy ,,zmierzyć liczbę metodami fizycznymi"
Miałem na myśli wykonanie pomiarów i ustalenie wartości liczby, np. zmierzenie obwodu walca za pomocą sznurka, średnicy tegoż, również tym lub innym sznurkiem, a następnie ustalenie, ile razy krótszy odcinek mieści się w dłuższym.

Symetrii między fizyką i matematyką rzeczywiście nie ma. Ludzki umysł tworzący matematykę (lub filozofię) potrzebuje inspiracji zewnętrznej. Fizyka jest bardzo dobrą inspiracją, również dlatego, że stawia konkretne problemy wyrażone często w języku matematyki. Bywa również, że odkrycia matematyków inspirują fizyków, choć chyba rzadziej.

>Ale jeśli kawał matematyki okaże się sprzeczny...
A jakiś się okazał? Bo jeśli nie, to zacytuję klasyka:
"A gdyby tu wasz synek z grupą stuosobową odlatywał i każdy z rodziców chciałby wejść, to jaki byłby tłok, sami widzicie i nie mówcie, że nie macie synka, bo w każdej chwili mieć możecie (sprawdzić, czy nie ksiądz)"

[stefan4]

kamyk_wj:
> Miałem na myśli wykonanie pomiarów i ustalenie wartości liczby, np.
> zmierzenie obwodu walca za pomocą sznurka, średnicy tegoż, również tym
> lub innym sznurkiem, a następnie ustalenie, ile razy krótszy odcinek mieści
> się w dłuższym.

Jeśli taką procedurę uważasz za miarodajną, to przyjmujesz (z kapelusza) bardzo silne założenia o naturze rzeczywistości. Tak silne, że przy nich wartość liczby π to już bułeczka z masełkiem. Na przykład zakładasz bez dowodu eksperymentalnego

• płaskość przestrzeni

[kamyk_wj]

> Jeśli taką procedurę uważasz za miarodajną
Rzecz w tym, że nie uważam.
Podałem przykład aproksymacji liczby niewymiernej za pomocą prostych pomiarów fizycznych. Starożytni Egipcjanie wyaproksymowali w ten sposób PI na równe 3.
Cieszę się, że wymieniłeś warunki, w jakich taki pomiar się odbywa. Dokładnie o to mi szło: każdy pomiar rzeczywisty wymaga poczynienia założeń (często niemożliwych do bezwzględnej weryfikacji), każdy obarczony jest błędem. Trzeba by dodać do przykładu zerową grubość sznurka, jego nierozciągliwość, brak rozszerzalności przy różnej temperaturze i wilgotności lub stałe warunki tychże parametrów w różnych fazach pomiarów i obliczeń oraz pewnie jeszcze wiele innych założeń zewnętrznych. A i tak, z ustalania krotności długości jednego kawałka sznurka w dugim (czyli ustalania liczby) wyjdzie wartość wymierna. Czyli lepsza lub gorsza aproksymacja. Tak działa fizyka, o czym zapewne dobrze wiesz.

> Znacznie mniej trzeba założyć bez dowodu dla wyliczenia kolejnych cyfr r
> ozwinięcia dziesiętnego liczby π w jakiś ogólnie znany sposób.
Też dokładnie to miałem na myśli. Wykonanie serii obliczeń opartych na samej tylko matematyce pozwala uzyskać lepszą reprezentację dziesiętną niż najlepszy pomiar fizyczny. W końcu, można po prostu uznać, że PI ma wartość PI i przestać się zajmować jakimkolwiek rozwijaniem. Czyli poprzestać na bycie abstrakcyjnym, niemierzalnym eksperymentalnie.

> I nietrudno jest znaleźć przykłady twierdzeń z zastosowań matematyki, np. w fiz
> yce, informatyce, statystyce itp., które mogłyby wtedy potrzebować krytycznego
> zrewidowania. A odwrotnie

[stefan4]

kamyk_wj:
> Starożytni Egipcjanie wyaproksymowali w ten sposób PI na równe 3.

Egipcjanie? Miałem o nich lepsze wyobrażenie, zawsze myślałem, że to Izraelici:
Cytat
2. Ks. Kronik, 4:2:
Następnie sporządził odlew okrągłego "morza" o średnicy dziesięciu łokci, o wysokości pięciu łokci i o obwodzie trzydziestu łokci.

Archimedes doszedł ponoć do i zrobił to bez żadnych sznurków, czymś w rodzaju bardzo prymitywnego całkowania. Szacował mianowicie obwody n-kątów foremnych wpisanych w okrąg, i n-kątów foremnych opisanych na okręgu. Miał intuicję, że

• w miarę wzrostu n te dwa obwody zbliżają się do siebie, oraz że
  
• długość okręgu leży pomiędzy nimi.
  

Dlatego niektórzy uważają go za prekursora rachunku całkowego na 19 wieków przed Newtonem.

Matematyka starożytna, przynajmniej grecka, nie miała niczego wspólnego z praktycznym mierzeniem. Greccy filozofowie wręcz brzydzili się eksperymentowaniem, wielbili natomiast ,,czysty'' umysł.


kamyk_wj:
> PS. Nie potrafię napisać PI za pomocą literki greckiej. Jak to się robi? Niektó
> re inne mam na Alcie (ß∑∂∆), PI nie mam.

Pluj na Alta, kopiuj np. stąd. Możesz też używać wprost podanych tam nazw znaków; np. dla uzyskania symbolu π pisać & pi ; (czyli ampersand, p, i, średnik, oczywiście bez spacji).

- Stefan

[alsor]

> Starożytni Egipcjanie wyaproksymowali w ten sposób PI na równe 3.

Jasne, dopiero w 1911r poprawił to słynny Albert,
odkrył że:
Pi = 3/(1 - e^2); gdzie e = 0.206 z wieloletnich pomiarów orbity Merkurego!
co daje:
Pi = 3.133; potężny postęp, błehehe!

Ale starożytni lepsze, np. takie przybliżenie:
Pi = 4*sqrt(phi);

albo: Pi = 6/5 Phi^2;
Phi - golden ratio, bardzo popularna liczba w starożytności.
Phi + 1 = Phi^2; albo Phi - 1 = 1/Phi,
takie coś łatwo wyznaczyć z dużą precyzją.

[bimota]

> [*] izotropowość przestrzeni

[alsor]

Temu biedakowi pomieszały się pojęcia.

Bierzesz kawał elastycznej szmaty - koszulkę, czepek, albo skarpetkę,
rozpłaszczasz na stole i rysujesz na niej trójkąt, czy okrąg.

Potem nakładasz na siebie i to się ponaciąga różnie,
więc ten jełop ubzdurał sobie, że tu jakaś nowa geometria
jest potrzebna, żeby poprawnie odwzorować te pokrzywione obrazki.

Geometra sferyczna, hiperboliczna, czy dowolna krzywoliniowa,
to tylko figury na pokrzywionej powierzchni (szczególnej przestrzeni geometrycznej),
a nie jakieś nowe światy, w których obowiązują inne geometrie.

[alsor]

> Nauki empiryczne to takie, których efekty (twierdzenia, teorie itp) mogą być zw
> eryfikowane za pomocą doświadczenia. Matematyka do nich nie należy.

Prawa matematyczne były weryfikowane przez tysiące lat.
Np. Pitagoras rysował te trójkąty i mierzył zwyczajnie boki.

Podstawowe reguły geometryczne podobnie sprawdzasz.
Proporcje - dzielenie, mnożenie, dodawanie i odejmowanie.
Średnia geometryczna = pierwiastkowanie,
to jest szczególny przypadek dzielenia.

I to wystarczy - resztę wyprowadzisz poprzez powielanie
i składanie tych operacji podstawowych:
szeregi - sumowanie, całki tak samo, różniczki,
powierzchnie, wektory, macierze, ...

Rachunek prawdopodobieństwa - normalnie rzucali
tysiące razy monetami, są nawet zapisane te serie.

Albo taki przypadek: wiesz jak rozwiązano problem
prawdopodobieństwa w podwójnych rzutach - 1/3 czy 1/4?
AA, AB, BB albo
AA, AB, BA, BB.

Nigdy by tego nie rozstrzygnięto bez eksperymentów.

> Nie istnieje matematyka eksperymentalna.

Nieeksperymentalna to ta, która funkcjonuje w fizyce teoretycznej od 100 lat.
I dlatego jest sprzeczna wewnętrznie: niefizyczne 'rozwiązania',
nieusuwalne osobliwości, pętle logiczne, rekurencyjne definicje,
i pomieszanie pojęć i wielkości.

Nie można tworzyć z sufitu, niestety, wbrew temu
co sobie kilku popularnych amatorów ubzdurało w XXw.

[kazeta.pl55]

alsor napisał:

> Prawa matematyczne były weryfikowane przez tysiące lat.
> Np. Pitagoras rysował te trójkąty i mierzył zwyczajnie boki.

Witam!

- No nie! Sam to wymyśliłeś? Od niepamiętnych czasów ludzie robili sobie najpierw rysunki, później modele różnych obiektów dla wypróbowania. Na koniec włączyli swój aparat abstrakcyjnego myślenia i w głowie zamiast np. trójkąta prostokątnego z patyków wyobrazili sobie trójkąt z linii o grubości zero i budując na jego bokach kwadraty, tak powoli doszli do pola trójkąta.

- Co do liczby π, to najważniejsze już tu napisano. Nie ma w niej nic dziwnego, bo jest liczbą jak każda inna i ma swój domeczek na osi liczbowej w tym samym miejscu co przed wojną. Nie jest i nie może być nieskończoną, jak pisze autor wątku. Choćby tylko z tej przyczyny, że tylko dwie rzeczy są na świecie nieskończone, o których na pewno wiemy: Miłosierdzie Boże i ludzka głupota.
Przy okazji INFO dla autora wątku: Takich liczb "upartych" do zapisania w systemie dziesiętnym jak π, jest baaardzo dużo na osi liczbowej, nie tylko pomiędzy 3 i 4. Jakby ktoś sobie wymyślił system liczbowy gdzie π byłaby liczbą całkowitą, to w pułapkę liczb niewymiernych też wpadnie i kto wie czy nie w tych punktach, gdzie system dziesiętny ma liczby wymierne.
Pozdrawiam.

[alsor]

> - No nie! Sam to wymyśliłeś? Od niepamiętnych czasów ludzie robili sobie najpie
> rw rysunki, później modele różnych obiektów dla wypróbowania.

No i co z tego?
Narysowana kreska nie jest tworem abstrakcyjnym.

A tak naprawdę Pitagoras nie odkrył tego twierdzenia -
on tylko nauczył się trochę geometrii od Egipcjan.

Żaden matematyk nigdy nic nie stworzył i nie stworzy.

Nawet najbardziej abstrakcyjne prawa matematyczne, te niby nieintuicyjne,
są takie tylko dlatego, że nie zostały rozpoznane poprawnie.

Po rozpoznaniu okażą się trywialnym regułami,
występującymi powszechnie w naturze.

Np. te 'nieklasyczne' statystyki Diraca, czy Bosego - co to jest?
Normalka.
Nawet jełop z obory obserwuje to codziennie i całkiem makroskopowo, ale o tym nie wie.
A specjaliści od fizyki kwantowej co wiedzą na ten temat?
Tyle samo, czyli są dokładnie na tym samym poziomie, błehehe!

[kazeta.pl55]

alsor napisał:

> A tak naprawdę Pitagoras nie odkrył tego twierdzenia -

Mówią, że odkrył tak samo jak rosyjski wielki uczony Roverov odkrył rower na niemieckim strychu.

> Żaden matematyk nigdy nic nie stworzył i nie stworzy.

W pełni się zgadzam, bo oni są od grzebania w tym co jest.

> Po rozpoznaniu okażą się trywialnym regułami,
> występującymi powszechnie w naturze.

Dla natury na pewno trywialne.

mfg.