Wielomiany

[Gość: Antyp]

Wiemy, że x+y=1 oraz x^2+y^2=1. Jaki jest wynik sumy trzecich potęg x i y,
x^2+y^3=?.
Teraz nieco trudniejsze x+y+z=1, x^2+y^2+z^2=2 i x^3+y^3+z^3=3 ile to jest
x^4+y^4+z^4=?
Pozdrowienia dla wszystkich forumowiczek i forumowiczów. Antyp

[mucha102]

Oho,
pierwsze - ;)
drugie już nie tak. idę liczyć :I
Pzd!

[mucha102]

Szanowny Antypie, czy możesz choć powiedzieć, czy X*Y*Z=5/6?
Bo jeśli nie, tz. że gdzieś się pomyliłam :(

[Gość: brainac]

pierwsze jest proste (1) ale z drugim sie juz zamotalem

[Gość: Kornel]

Jako leniwy człowiek przeszukałem w miarę dokładnie dla drugiego zadania
rozwiązania dla x,y i z z przedziału -sqrt(2)....+sqrt(2) ale nic nie
znalazłem... Czyżbym coś przeoczył?
K.

[bbaju]

Gość portalu: Kornel napisał(a):
> Czyżbym coś przeoczył?

Nic nie przeoczyłeś, zadanie drugie nie ma rozwiązania.

Ujmę je tak:
Mamy trzy równania powierzchni, jaka jest wartość wielomianu czwartego dla
współrzędnych punktów wspólnych?

Otóż druga i trzecia powierzchnia NIE MAJĄ punktów wspólnych!
Druga to oczywiście sfera o promieniu sqrt(2), zaś trzecia to taka "niby
sfera" - jakby sferę nieco spłaszczyć przy osiach, zaś promień wodzący punktów
przecięcia z osiami wynosi trzeci pierwiastek z 3 (jak to zapisać?). A to, to
nieco więcej niż R sfery.

Pozdrawiam,
Baj

[mucha102]

Rozumiem, bbaju, iż podane wcześniej równości są sprzeczne?
Tj nie istnieje x,y,z, spełniające poniższe warunki?
x+y+z=1,
x^2+y^2+z^2=2 i
x^3+y^3+z^3=3 ?
Bo tylko w takim wypadku widzę niemożność obliczenia sumy czwartych potęg
danych liczb.

[Gość: Antyp]

Mamy dane
(1) x+y+z=1
(2) x^2 +y^2 + z^2 = 2
(3) x^3 +y^3 + z^3 = 3

Mnożąc (1) i (3) otrzymujemy:
x^4 +y ^4 + z^4 + x*y^3 + x^3*y + x^3*z + x*z^3 + y*x^3 + y^3*z = 3

Po przekształceniu
x^4 + y^4 + z^4 + x*y*(x^2 + y^2) + y*x*(y^2 +z^2) + z*x*(z^2 +x^2)=3

z (2) uzyskujemy
x^4 + y^4 + z^4 + x*y*(2- z^2) + y*x*(2 -x^2) + z*x*(2 -y^2)=3

i dalej
(4) x^4 + y^4 + z^4 + 2*(xy+yx+zx)- x*y*z*(x + y+ z)=3

Teraz przekształcimy
2*(xy+yx+zx)= (x + y+ z)^2- (x^2 +y^2 + z^2)=1-2= - 1

I końcówka
(x+y+z)^3 = x^3+y^3+z^3 +3(x+y)*(y+z)*(z+x)=

z (1) uzyskujemy
=x^3+y^3+z^3 +3(1-z)*(1-x)*(1-y)= x^3+y^3+z^3+3-3*(x+y+z)+3(x*y+y*z+z*x)-3*x*y*z
Podstawiając wartości wcześniej wyliczone otrzymany x*y*z=1/6
I po podstawieniu do (4) otrzymujemy
x^4 + y^4 + z^4=25/6

[bbaju]

Przykro mi Antypie, ale choć wywodowi Twojemu nie można nic zarzucić, wcale nie
przekonałeś mnie, że wielomian ma wartość taką, jaką podałeś. Zresztą o żadnej
wartości nie można tego powiedzieć.

Twoje podane przekształcenia, to nic innego jak prawdziwa implikacja:
p1^p2^p3=>p4
Ja twierdzę, że poprzednik (koniunkcja) jest fałszywy (p2 i p3 są wzajemnie
sprzeczne), a wiadomo, że przy takim poprzedniku każda implikacja jest
prawdziwa, zarówno ta o prawdziwym jak i fałszywym następniku. Stąd moje
powątpiewanie w podaną wielkość.

Żeby nie być gołosłowną, spróbuj dokonać tych samych przekształceń przyjmując w
drugim równaniu zamiast 2 minus jeden (-1). Prawda, że nonsens, ale dlaczego by
nie?
Przekształcenia Twoje ani razu się nie zaksztuszą, otrzymasz wynik 19/6 (chyba,
o ile się nie kropnęłam).
I co teraz sądzić? Prawdziwy to wynik, czy nie?

Ale zadanko i tak fajne!

Pozdrowienia,
Baj

[bbaju]

mucha102 napisała:

> Rozumiem, bbaju, iż podane wcześniej równości są sprzeczne?
> Tj nie istnieje x,y,z, spełniające poniższe warunki?
> x+y+z=1,
> x^2+y^2+z^2=2 i
> x^3+y^3+z^3=3 ?
> Bo tylko w takim wypadku widzę niemożność obliczenia sumy czwartych potęg
> danych liczb.

Tak, sprzeczne.
I to dokładnie sprzeczne są dwa rownania: 2-gie i 3-cie.

Pozdr.
Baj

[Gość: Antyp]

Zgadzam się, że równania (2) i (3) są sprzeczne. Ale są one sprzeczne w
dziedzinie liczb rzeczywistych. Tylko, że nigdzie w zadaniu nie ma warunku, że
x, y i z są liczbami rzeczywistymi. Więc Twoje stwierdzenie, że x^2+y^2+z^2
może być równe -1 wcale nie jest bez sensu. Pozdrowienia Antyp.

[bbaju]

Jeżeli dopuszczamy liczby zespolone, zgoda. Do tej pory jednak na forum nie
wychodzilismy poza rzeczywiste i stąd protest. Ale tak, wycofuję go.

Baj baj