Stozek z klinem

[republican]

Mamy okragly kawalek papieru o promieniu R. Wycinamy z tego paperu “klin” z
wierzcholkiem w srodku okregu I sklejamy krawedzie tworzac stozkowate
naczynie.
Znalezc kat klina dla ktorego pojemnosc stozka jest maximum.

[Gość: grzesiek]

(1 - sqrt(1/3)) część kąta pelnego, czyli okolo 152 stopnie.

[republican]

Gość portalu: grzesiek napisał(a):

> (1 - sqrt(1/3)) część kąta pelnego, czyli okolo 152 stopnie.


cos tu nie tak, ale jak doszedles to tego?

[Gość: grzesiek]

rzeczywiście nie tak, pomylilem się. spróbowalem jeszcze raz, ale tym
razem musialem rozwiązać (numerycznie) równanie 3 stopnia. wyszlo mi
0.29289 część kąta pelnego czyli ok. 105 stopni. ciekawe, bo chociaż nie
umiem podać dokladnego wzoru na kąt, to maksymalna objętość stożka wynosi
dokladnie R^3 * pi/6.

[republican]

Gość portalu: grzesiek napisał(a):

> rzeczywiście nie tak, pomylilem się. spróbowalem jeszcze raz, ale tym
> razem musialem rozwiązać (numerycznie) równanie 3 stopnia. wyszlo mi
> 0.29289 część kąta pelnego czyli ok. 105 stopni. ciekawe, bo chociaż nie
> umiem podać dokladnego wzoru na kąt, to maksymalna objętość stożka wynosi
> dokladnie R^3 * pi/6.

mnie wychodzi ten kat okplo 1.153radiana czyli znacznie mnie niz 105 stopni

[bbaju]

Witam po suszy!

Kąt wynosi dokładnie 2*pi*[1 - sqrt(2/3)], po zaokragleniu 66,06 stopni.
Maksymalna objętość: (2*sqrt(3)/27)*pi*R^3

Baj

[republican]

bbaju napisała:

> Witam po suszy!
>
> Kąt wynosi dokładnie 2*pi*[1 - sqrt(2/3)], po zaokragleniu 66,06 stopni.
> Maksymalna objętość: (2*sqrt(3)/27)*pi*R^3
>
> Baj

Witam
i jak zwykle zazdroszcze..
R

[Gość: grzesiek]

dolączam się do gratulacji.
w swoim rozwiązaniu znalazlem kolejny bląd, ale po jego poprawieniu
muszę już rozwiązać wielomian piątego stopnia. jak uzyskać dokladne
rozwiązanie??!!

[bbaju]

Gość portalu: grzesiek napisał(a):

> jak uzyskać dokladne
> rozwiązanie??!!

Dość prosto.
Kat fi to kat tego wycinka kołowego, ktory zwijamy (dla wygody), wtedy szukany
kąt x = 2*pi-fi.
Łuk tego wycinka bedzie mial długość R*fi, równocześnie jest obwodem "denka"
lejka. Obliczysz promień tego denka, z Pitagorasa wysokość stożka, i już masz
wszystko potrzebne do obliczenia objętości V. Teraz tylko zróżniczkuj V,
przyrównaj pochodną do zera i finita.
I słowo daję, pojęcia nie mam, skąd Ci się mogło wziąć tak skomplikowane równanie.

Baj

[Gość: uważny]

Jeżeli x to miara w radianach szukanego kąta środkowego (wycinka koła, a nie
klina), to obwód podstawy stożka jest R x , a promień podstawy Rx/2# (#
=pi) , wysokość zaś
h = sqrt(R^2-r^2) i w końcu ,po podstawieniu do wzoru i kosmetyce, mamy
V(x)=R^3/24#^3 * sort(4#^2 x^4-x^6).
Pochodna funkcji podpierwiastkowej ma postać 2 x^3 (8#^2 - 3x^2), a więc
maksimum jest dla x =#*sqrt(8/3)=5,13 rad=293,9 stopni.
Taki stożek przypomina wietnamskie nakrycie głowy – największa pojemność przy
najmniejszym zużyciu materiału

[Gość: grzesiek]

> Dość prosto.
> Kat fi to kat tego wycinka kołowego, ktory zwijamy (dla wygody), wtedy szukany
> kąt x = 2*pi-fi.
> Łuk tego wycinka bedzie mial długość R*fi, równocześnie jest obwodem "denka"
> lejka. Obliczysz promień tego denka, z Pitagorasa wysokość stożka, i już masz
> wszystko potrzebne do obliczenia objętości V. Teraz tylko zróżniczkuj V,
> przyrównaj pochodną do zera i finita.
> I słowo daję, pojęcia nie mam, skąd Ci się mogło wziąć tak skomplikowane równan
> ie.

Dziękuję. Okazuje się że tajemnica tkwi w wyborze kąta. Ja liczylem
wedlug kąta wycinka, a Ty wedlug kąta tego co zostaje. W Twoim przypadku
pochodna wychodzi -6*x^5 + 4*x^3 co się latwo skraca przez x^3. W moim
przypadku dostawalem wyrażenie ze wszystkimi wspólczynnikami niezerowymi
na czym się zalamywalem.

[Gość: Uważny]

Cos nie tak , po wyłączeniu w pochodnej czynnika przed nawias w nawiasie jest
8(pi)^2 - 3 x^2 i stąd ten wynik po przyrównaniu do zera. Przemysl to jeszcze
raz. Pzdr.