Cylindry Archimedesa

[republican]

Dwa cylindry o tej samej srednicy D sa polaczone pod katem prostym
tworzac figure w postaci znaku dodawania ”+”
Znalesc objetosc przestrzeni wspolnej dla obu cylindrow.
PS
Ten problem ponoc rozwiazal Archimedes bez rachunku calkowego

[Gość: Gosia]

1/6 Pi D^3......?

[Gość: Gosia]

Sory. Poprawiam się na 1/2 Pi D^3.

[Gość: Krzyś]

jeśli średnica cylindrów = 1 cm, to objętość tej bryły wynosi około 0,67 cm3

[republican]

Odpowiedzcie prosze jak to Archimedes rozwiazal

[Gość: Gosia]

Jeżeli drwal siekierą uderzy w drzewo pod kątem 45st z góry i z dołu
do osi drzewa to wykroi fragment walca. Bryła Archimedesa składa sie
z czterech takich elementów i objętość jej wynosi 1/4xPixD^3
(za trzecim razem)
Dla D=1cm wynosi ona 0,785cm sześciennego.

[Gość: Krzyś]

musiałby mieć siekierę o zaokrąglonym ostrzu. Ta bryła nie ma żadnych prostych
ścian.

[Gość: Gosia]

Jeżeli nie przemawia do Ciebie drwal to może pomarańcza.Okrągłą
pomarańczę podziel na cztery części i z każdej z nich scyzorykiem
zetnij wypukłość skórkową.Wzdłuż krawędzi.Potem te cztery częsci
złóż.Otrzymasz tę bryłę Archimedesa.

[republican]

Gość portalu: Gosia napisał(a):

> Jeżeli nie przemawia do Ciebie drwal to może pomarańcza.Okrągłą
> pomarańczę podziel na cztery części i z każdej z nich scyzorykiem
> zetnij wypukłość skórkową.Wzdłuż krawędzi.Potem te cztery częsci
> złóż.Otrzymasz tę bryłę Archimedesa.

Doskonala analogia Gosiu, ale wzor na objetosc ciut-ciut inny.
Czesc mojego pytania bylo jak Archimedes do tego doszedl bez calek?
PS
Bryla ta zwie sie "Steinmetz Solid"

[Gość: Krzyś]

zaczął od sześcianu i ostrosłupa

[Gość: Gosia]

W takim razie Archimedes musi się mylić (....).
Jednaczwartapidesześcian otrzymałam przekształcając tozsamościowo
fragment walca.

[republican]

mathworld.wolfram.com/SteinmetzSolid.html
Masz tu Twoja pomarancze i objetosc z uzyciem calki.
W dalszym ciagu Archimedes sie skromnie przypomina i prosi o
wzmnianke .

[Gość: Gosia]

Byłam pewna, że Pi jest we wzorze.Dziękuję za uwagę. Wycofuję się.

[republican]

Pi bylo ale sie uproscilo
(4/pi) [(4/3)pi R^3] = (16/3)R^3
gdzie wyrazenie w nawiasach[ ] jest objetoscia kuli wpisanej w dwa
cylindry
4/pi to Archimedes, pytanie dlaczego?

[kornel-1]

Nie znając całek zrobiłbym model z rurek i nalał wodę ;-)

Kornel

[republican]

kornel-1 napisał:

> Nie znając całek zrobiłbym model z rurek i nalał wodę ;-)
>
> Kornel


Tak, ale to byla metoda Sokratesa

[Gość: Gosia]

Dzień dobry. Już wiem.
Stosunek pola koła do pola kwadratu opisanego na tym kwadracie
wynosi właśnie te 4/Pi.

[Gość: Gosia]

sory. Odwrotnie. Kwadratu do koła.

[Gość: Gosia]

Roztrzepana jestem. Jeszcze raz:
Stasunek pola kwadratu do pola koła wpisanego w ten kwadrat wynosi
te 4/PI.

[republican]

Cieplo, a skad ten kwadrat?

[Gość: Gosia]

Czułam, że ciepło. Więc: gdy warstwowo zeskanujemy walec z wpisaną
weń tą bryłą ( trudna nazwa) to otrzymamy 'n' zdjęć.Jakby prostokąt
z wpisanym weń wycinkiem koła.Największy z tych rysunków jest
właśnie kwadrat z kołem.
Wymyśliłam twierdzenie: Każdy prostokąt oparty na cięciwie i
wysokości wycinka koła ma pole 4/Pi razy większe od tegoż wycinka.
Pozdrawiam

[republican]

Gość portalu: Gosia napisał(a):

> Czułam, że ciepło. Więc: gdy warstwowo zeskanujemy walec z wpisaną
> weń tą bryłą ( trudna nazwa) to otrzymamy 'n' zdjęć.Jakby
prostokąt
> z wpisanym weń wycinkiem koła.Największy z tych rysunków jest
> właśnie kwadrat z kołem.
> Wymyśliłam twierdzenie: Każdy prostokąt oparty na cięciwie i
> wysokości wycinka koła ma pole 4/Pi razy większe od tegoż wycinka.
> Pozdrawiam

Gosiu
Cieplutko dziewczynko
Mamy Twoja bryle pomaranczy ktora wyglada jak na wofram rysunku
ktory podalem powyzej.
Jest to kula o promieniu R z wypukleniami
Gdy teraz zeskanujemy warstwowo od chubka w plaszczyznacxh
rownoleglych to poziomej osi cylindra otrzymamy serie kwadratow.
Skad ten wzor4/pi *V((R)
To wlaasnie co Archimedes wykazal 2200lat temu.
Dziekuje i pozdrawiam

[Gość: grzesiek]

Tnę figurę na 2n poziomych plasterków o jednakowej grubości
równej R/n. Przekroje mają kształt kwadratu. Powierzchnia i-tego
plasterka (i liczę od środka na zewnątrz) to w przybliżeniu
4*(R^2-(i*R/n)^2).
Suma tych objętości to
V(n) = 2 * (R/n) * SUMA(4*(R^2-(i*R/n)^2) ; i=1,n)
Po przekształceniu
V(n) = 8*R^3 * (1 - n*(n+1/2)*(n+1)/(3*n^3))
Objętość figury jest granicą tego wyrażenia dla n --> oo, czyli
V = lim V(n) = 8*R^3 * (1 - 1/3) = (16/3)*R^3 = (2/3)*D^3.

Nie wiem czy Archimedes tak akurat liczył. Całki nie uzyłem, ale
za to granicę. Jedna z definicji całki oznaczonej to też granica
sumy przy kroku sumowania dążącym do zera, więc na upartego można
powiedzieć że w tym rozwiązaniu jest ukryte całkowanie. Spodziewam
się że ktoś poda lepsze rozwiązanie.

Do Gosi i Grzesia

[republican]

Gość portalu: grzesiek napisał(a):

> Tnę figurę na 2n poziomych plasterków o jednakowej grubości
> równej R/n. Przekroje mają kształt kwadratu. Powierzchnia i-tego
> plasterka (i liczę od środka na zewnątrz) to w przybliżeniu
> 4*(R^2-(i*R/n)^2).
> Suma tych objętości to
> V(n) = 2 * (R/n) * SUMA(4*(R^2-(i*R/n)^2) ; i=1,n)
> Po przekształceniu
> V(n) = 8*R^3 * (1 - n*(n+1/2)*(n+1)/(3*n^3))
> Objętość figury jest granicą tego wyrażenia dla n --> oo, czyli
> V = lim V(n) = 8*R^3 * (1 - 1/3) = (16/3)*R^3 = (2/3)*D^3.
>
> Nie wiem czy Archimedes tak akurat liczył. Całki nie uzyłem, ale
> za to granicę. Jedna z definicji całki oznaczonej to też granica
> sumy przy kroku sumowania dążącym do zera, więc na upartego można
> powiedzieć że w tym rozwiązaniu jest ukryte całkowanie. Spodziewam
> się że ktoś poda lepsze rozwiązanie.

Dziekuje
Masz racje granica ma aromat calki w tym wypadku.
Poza tym pierwsza wzmianka o granicy (limit) jest w 1817 Roku Panskim
en.wikipedia.org/wiki/Limit_of_a_function
Wedlug Cicero (tego od Catiliny i Carthaginy) znaleziono na grobie
Archimedesa w Syrakuzach kule i cylinder. Byl ponoc bardzo dumny ze
swoich osiagniec w onliczaniu powierzchni i objetosci tych bryl.
Wiec najprawdopodobnie doszedl to 4/pi* V(R) podany powyzej.
Rozwiazanie to wedlug mnie jest bardzo eleganckie.
Gratuluje Gosi i Tobie za rozwiazania.